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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe gerade festgestellt, dass ich die Leibniz-Formel zur Berechnung von Determinanten noch gar nicht verstanden habe. Ob mir das vielleicht mal jemand vormachen könnte? Eine gewisse Vorstellung, was da gemacht wird, habe ich, aber so ganz kommt das nicht hin. Vielleicht als erstes einfaches Beispiel mal folgende Matrix: [mm] A=\pmat{1&2\\3&4}
[/mm]
Nun gilt ja: det A = [mm] \summe_{\sigma\in S_n}sign(\sigma)*a_{1\sigma(1)}*...*a_{n\sigma(n)}
[/mm]
Nun habe ich mal überlegt, was denn überhaupt mit [mm] \sigma [/mm] gemeint ist. Welche Permutationen sind das denn jetzt? Ich dachte, es wäre [mm] \sigma:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\} [/mm] - steht jedenfalls in meinem Buch. Allerdings wäre hier das n ja 2, also ginge die Abbildung von [mm] \{1,2\} [/mm] nach [mm] \{1,2\}. [/mm] Aber was mache ich dann mit 3 und 4? Wer kann mir sagen, was hier die Matrix mit der Permutation zu tun hat?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Es gibt ja zwei Permutationen aus [mm] $S_2$, [/mm] nämlich
[mm] $\sigma_1 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 1 & 2}$ [/mm] und [mm] $\sigma_2 [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 2 & 1}$.
[/mm]
Offenbar gilt:
[mm] $sign(\sigma_1)=1$ [/mm] und [mm] $sign(\sigma_2)=-1$.
[/mm]
Daher haben wir:
$det(A) = 1 [mm] \cdot a_{1\sigma_1(1)} \cdot a_{1\sigma_1(2)} [/mm] - 1 [mm] \cdot a_{1\sigma_2(1)} \cdot a_{2\sigma_2(2)} [/mm] = 1 [mm] \cdot a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - 1 [mm] \cdot a_{12} \cdot a_{21} [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 4 - 2 [mm] \cdot [/mm] 3 = 4-6 = -2$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die schnelle Antwort - ich hatte nur einen klitzekleinen Denkfehler bei mir drin gehabt. Und zwar hatte ich gedacht, die Abbildung ginge von [mm] \{1,2\} [/mm] nach [mm] \{3,4\}, [/mm] weil das ja die Elemente der Matrix waren. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Schön blöde... 
Also, jetzt mal eine [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix:
[mm] A=\pmat{1&2&3\\2&4&7\\3&1&1}
[/mm]
Es gibt 3!=6 Permutationen von [mm] \{1,2,3\} [/mm] nach [mm] \{1,2,3\}, [/mm] nämlich:
[mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2} [/mm] mit sign=-1
[mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3} [/mm] mit sign=-1
[mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\3&1&2} [/mm] mit sign=1
[mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1} [/mm] mit sign=-1
Dann ergibt sich:
[mm] det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}=4-7-4+42+6-36=5
[/mm]
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Alles richtig! Du hast es definitiv verstanden, das freut mich sehr! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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