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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 31.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hallo, könnt ihr mir vielleicht bei folgenden Funktionen den Definitionsbereich bestimmen ? Ich weiß nicht, wie ich das nach x auflösen soll:
f(x) = ln ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] e^x [/mm] )
und
F(x) = ln ( [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^x [/mm] )
vielen DAnk schonmal,
sven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 31.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Svenchen!
Der Definitionsbereich richtet sich ja nach dem Logarithmus naturalis, da dieser hier die äußere Funktion ist, und dementsprechend der eigentliche Wert dort eingesetzt wird.
Kommen wir nun zu den Funktionen. Bei der Funktion [mm] $f(x)=ln(x^2+e^x)$ [/mm] schauen wir nun, wann [mm] $x^2+e^x$ [/mm] gleich $0$ ist oder einen negativen Wert annimmt. Das geht jetzt recht schnell, nimmt [mm] $x^2$ [/mm] für alle $x$ innerhalb der reelen Zahlen einen positiven Wert ein, und ist bei $x=0$ ebenfalls $0$. Bei [mm] $e^x$ [/mm] ist es ebenfalls schnell gesagt: [mm] $e^x$ [/mm] nimmt für jedes $x$ innerhalb der reelen Zahlen einen positiven Wert an, ist definitionsgemäß nie $0$. Daraus folgt für [mm] $f(x)=x^2+e^x$, [/mm] dass [mm] $D(f)=\IR$.
[/mm]
Nun zur Funktion [mm] $F(x)=x^2*e^x$. [/mm] Die Antwort ist hier auch recht simpel. Wenn [mm] $x^2=0$ [/mm] ist, dann ist das Produkt [mm] $x^2*e^x$ [/mm] auch gleich $0$. Da [mm] $e^x$ [/mm] definitionsgemäß nie $0$ ist, gilt: [mm] $D(F)=\IR\{0} [/mm] $.
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
Liebe Grüße
Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Di 31.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hi!
Zum Schluss soll das heißen:
[mm] $D(F)=\IR\backslash\{0\}$
[/mm]
Gruß Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 31.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hi, herzlichen DAnk für deine Antwort, hat mir viel geholfen.
Wie sieht es aber bei f(x) = ln [mm] (x^2 [/mm] - [mm] e^x [/mm] ) aus ?
Da müsste ich ja dann wissen, ab wann [mm] e^x [/mm] größer als [mm] x^2 [/mm] ist (dann wäre es ja insgesamt negativ). Wie gehe ich da vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Di 31.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo svenchen!
Deine Vorgehensweise ist richtig. Für die Gleichung [mm] $x^2 [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] bzw. [mm] $x^2 [/mm] - [mm] e^x [/mm] \ > \ 0$ gibt es meiner Meinung nach keine geschlossene Lösung, so dass Du hier auf ein Näherungsverfahren wie z.B.  Newton-Verfahren zurückgreifen musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 31.01.2006 | | Autor: | svenchen |
hmm, haben die Aufgabe als Hausaufgabe auf. Kann sein, dass der Lehrer sich dann verschrieben hat, wenn man das garnicht lösen kann....
Kleine Frage am RAnde noch: wie löse ich:
[mm] sin^2(x) [/mm] - cos(x) = 0 ? Brauche das bei ander anderen Aufgabe bei den Wendestellen.
danke,
sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 31.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sven!
Bitte stelle bei gänzlichen neuen Aufgaben auch eine neue (eigenständige Frage) das nächste Mal.
> Kleine Frage am RAnde noch: wie löse ich: [mm]sin^2(x)[/mm] - cos(x) = 0
Zunächst [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] ersetzen durch den trigonometrischen Pythagoras:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
Anschließend substituieren $u \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] und die entstehende quadratische Gleichung mit p/q-Formel lösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 31.01.2006 | | Autor: | svenchen |
Hallo, danke nochmal ...
ich habe ds jetzt so versucht zu lösen. Habe dann
1- [mm] cos^2(x) [/mm] - cos (x) = 0
1 - [mm] u^2 [/mm] - u = 0
u = -1,11 und u = 0,61
also ist x = acos(0,61) bzw acos(-1.11)
stimmt das so?
ist dann leider keine saubere Lösung oder geht das genauer ? (alles nur gerundet)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 31.01.2006 | | Autor: | svenchen |
ok, vielen vielen dank nochmal, hilft mir sehr!
Habe die Ergebnisse nun auch, allerdings dazu ein weiteres Problem. Das nächste mal mache ich dann einneues Tema bei neuen Fragen auf, ja....
Also ich sage mal die Funktion, von der das (ein Teil) der 2.Ableitung sein sollte:
f(x) = e^(cos(x))
Ich habe das mal mit dem Pc gezeichnet und berechnet.. Der zeigt mir unendlich viele Wendestellen an. Kann ich also von meinem Ergebnis (was auf diese Aufgabe bezogen hoffentlich richtig ist) auf die unendlichen Wendestellen schließen ? Nach meiner REchnun habe ich dann bei caa x = 0,9 eine Wendestelle, der PC zeigt in diesem Bereich nur eine bei x = 0,7 an. können das Rundefehler sein ?
vielen vielen dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mi 01.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo svenchen
> Also ich sage mal die Funktion, von der das (ein Teil) der
> 2.Ableitung sein sollte:
>
> f(x) = e^(cos(x))
ist das jetzt die Funktion oder ein Teil der 2. Ableitung?
> Ich habe das mal mit dem Pc gezeichnet und berechnet.. Der
> zeigt mir unendlich viele Wendestellen an. Kann ich also
> von meinem Ergebnis (was auf diese Aufgabe bezogen
> hoffentlich richtig ist) auf die unendlichen Wendestellen
> schließen ? Nach meiner REchnun habe ich dann bei caa x =
> 0,9 eine Wendestelle, der PC zeigt in diesem Bereich nur
> eine bei x = 0,7 an. können das Rundefehler sein ?
als Funktion hat f(x) = e^(cos(x)) unendlich viele Wendestellen und Extrema. aber du musst schon deine Rechnung zeigen, damit wir sie überprüfen können. Und was dein PC sagt kann ich auch nicht wissen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 02.02.2006 | | Autor: | svenchen |
ja, war vielleicht alles was durcheinander. Hier nochmal alles geordnet:
f(x) = e ^(cos (x) )
f''(x) =e^cos(x) * [mm] (sin^2(x) [/mm] - cos(x) )
f''(x) = 0 --> [mm] sin^2(x) [/mm] - cos(x) = 0
und das ergibt ja
1 - [mm] cos^2(x) [/mm] - cos(x) = 0
1- [mm] u^2 [/mm] - u = 0
x= 0,618 und u2 = -1 wie wir oben ja bereits gesagt haben.
also ist x = arccos(0,618) = 0,9 die Wendestelle von f(x).
So, nun meine Fragen:
Die Funktion hat ja in Wirklichkeit unendlich viele Wendestellen, wieso habe ich rechnerisch nur eine erhalten?
Ich habe meinen Computer die Funktion einmal lösen lassen. Der hat aber keine Wendestelle bei x= 0,9 raus (sondern nur bei x= 0,7). Also muss meine Rechnung irgendwo falsch sein, doch ich habe nuin schon 3x nachgerechnet und keinen Fehler gefunden. Könnt ihr mir da helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sven
Gut ,wen ein Mensch besser ist als sein PC. du hast einfach recht.
Die vielen anderen Punkte sind leicht zu erklären. du hast ja cosx=0,6..
da der cos periodisch ist, ist er sehr oft 0,6. also hast du [mm] x=\pm (0,9+n*2*\pi)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 03.02.2006 | | Autor: | svenchen |
gut, vielen dank. habs vestanden ! :)
schönen abend noch
sven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Fr 03.02.2006 | | Autor: | svenchen |
Leider hab ich noch eine Frage. Warum ist das Intervall genau 2*pi?
Dann wird allerdings der Wert, in der Skizze grün eingezeichnet, nicht beachtet (von dem roten zum anderen roten Punkt sind es genau 2*pi Einheien). bei dem grünen Punkt ist aber der arccos ebenfalls 0,6. Warum interessiert dieser Wert aber nicht ?(wird ja schließlich nicht erfasst, wenn ich +2pi rechne?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Fr 03.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sven
Ich hab die Klammern in meiner Antwort falsch gesetzt : da der cos sym. zu 0 ist, ist [mm] x=0.9+n*2\pi [/mm] und [mm] x=-0.9+n*2\pi, [/mm] und die negativen Werte davon.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Sa 04.02.2006 | | Autor: | svenchen |
ich vresteh das insgesammt noch nicht so genau... Muss man also immer, wenn man einen Wert hat, den Betrag dieses Wertes + 2pi rechnen (oder wie kommt die - 0,9 denn genau zu stande)
danke !
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Hallo Sven,
> ich vresteh das insgesammt noch nicht so genau... Muss man
> also immer, wenn man einen Wert hat, den Betrag dieses
> Wertes + 2pi rechnen (oder wie kommt die - 0,9 denn genau
> zu stande)
>
die -0,9 liegt im sog. Hauptintervall [mm] [-\pi;\pi] [/mm] der Funktion, alle weiteren findest du, wenn du [mm] n*2\pi [/mm] addierst oder subtrahierst; das ist gerade der "Trick", weil die Funktion doch periodisch ist mit der Periodenlänge [mm] 2\pi.
[/mm]
Immer, wenn du zu x [mm] 2\pi [/mm] addierst, erhältst du denselben Funktionswert: [mm] $f(x+n*2\pi) [/mm] = f(x)$.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Mo 06.02.2006 | | Autor: | svenchen |
Hi, danke!
ja wenn man sich die sin/cos mal zeichet wird ganz schnell Klar, wann es immer neue Stellen gibt--- danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 31.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Seppel!
> Zum Schluss soll das heißen:
> [mm]D(F)=\IR\backslash\{0\}[/mm]
Ich weiß nicht, von welcher Funktion du ausgegangen bist, aber ich sehe da zweimal die gleiche Funktion in der Aufgabenstellung stehen, halt einmal mit f(x) und einmal mit F(x) bezeichnet. Demnach kann ich nicht ganz nachvollziehen, was du da bei der zweiten Funktion gemacht hast. Evtl. ist aber auch die Aufgabenstellung des Fragestellers nicht ganz korrekt gewesen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 31.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hi Bastiane!
Ich sehe dort einmal bei f(x), dass zwischen [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $e^x$ [/mm] ein + steht und bei F(x) steht dazwischen ein * (mal) - insofern unterscheiden sich die beiden Funktionen schon.
Liebe Grüße
Seppel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mi 01.02.2006 | | Autor: | svenchen |
hi , ja das sind 2 verschiedene aufgaben... naja alles noch nicht , vielleicht könnt ihr euch ja mal die frage oben ansehen, ...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier habe ich erhalten:
