Cauchy-Schwarz im Hilbertraum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Bastiane
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]x,y[/mm] in einem Hilbertraum [mm]X[/mm]
> folgende Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt: [mm]|\langle x|y\rangle|\le||x||\cdot||y||[/mm].
>
> Hallo zusammen!
>
> Der Beweis ist doch
> ![[]](/images/popup.gif) dieser hier,
> oder?
Ich denke, ja
Wieso kann man denn da [mm]\lambda[/mm] irgendwie wählen?
> Warum steht da am Anfang überhaupt das [mm]\lambda?[/mm]
Du nutzt hier eine der Eigenschaften des Skalarproduktes in [mm] \IC, [/mm] nämlich
die Sesquilinearität aus.
Sesquilinear bedeute ja:
* [mm] \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
[/mm]
* [mm] \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
[/mm]
* [mm] \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\bar\lambda x,y\rangle
[/mm]
Und diese Eigenschaft wird gerne auch mal Gleichzeitig angewandt.
(Das war der Standardtrick bei unserem Analysis 2 Prof.)
Du nutzt hier wirklich nur die drei Eigenschaften aus.
<(x-ay);x-ay>
=<(x-ay);x>-<x-ay;ay>
=<(x-ay;x>-a<(x-ay);y>
=<x;x>-<ay;x>-a(<x;y>-a<y;y>)
=<x;x>-<ay;x>-a<x;y>+|a|²<y;y>)
[mm] =-\overline{a}-a+|a|²
[/mm]
Jetzt wählst du hat genau das a, was in deinem Link vorgegeben ist, und kommst dann auf das gewünschte Ergebnis
Ich weiss, das ist eine fürchterliche Rechnerei
> Und warum stehen auf der Seite dort mehrere Beweise - ok,
> im reellen Fall ist das Ganze etwas einfacher, aber
> ansonsten? Und wieso steht in der Aufgabenstellung, dass es
> ein Hilbertraum sein soll - was könnte es denn sonst sein
> bzw. welche Cauchy-Schwarzsche Ungleichung würde denn sonst
> gelten?
>
Gute Frage, deswegen lasse ich das mal auf z.T. beantwortet
> Viele Grüße
> Bastiane
> ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Marius
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Marius!
> Du nutzt hier eine der Eigenschaften des Skalarproduktes in
> [mm]\IC,[/mm] nämlich
> die Sesquilinearität aus.
>
> Sesquilinear bedeute ja:
>
> * [mm]\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle[/mm]
>
> * [mm]\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle[/mm]
>
> * [mm]\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\bar\lambda x,y\rangle[/mm]
Da stelle ich gerade fest, dass es wohl doch egal ist, ob ich sage, dass ich, wenn ich aus der 2. Komponente etwas rausziehe, es konjugiere oder ob ich das bei der 1. Komponente mache!? Sesquilinear ist einfach nur definiert als dass es in einer Komponente linear und in der anderen semilinear ist? Und es ist nicht festgelegt, was in welcher Komponente!?
> Und diese Eigenschaft wird gerne auch mal Gleichzeitig
> angewandt.
> (Das war der Standardtrick bei unserem Analysis 2 Prof.)
> Du nutzt hier wirklich nur die drei Eigenschaften aus.
>
> <(x-ay);x-ay>
> =<(x-ay);x>-<x-ay;ay>
> =<(x-ay;x>-a<(x-ay);y>
> =<x;x>-<ay;x>-a(<x;y>-a<y;y>)
> =<x;x>-<ay;x>-a<x;y>+|a|²<y;y>)
> [mm]=-\overline{a}-a+|a|²[/mm]
Danke für die Mühe, aber ich glaube, mittlerweile bekomme ich das auch wieder selbst hin (vor ein paar Tagen hätte ich da schon/noch/wieder Schwierigkeiten mit gehabt...)
> Jetzt wählst du hat genau das a, was in deinem Link
> vorgegeben ist, und kommst dann auf das gewünschte
> Ergebnis
Aber wieso kann ich denn das a wählen!??? Muss es nicht für alle a gelten? Also, was besagt denn die Ungleichung?
> Ich weiss, das ist eine fürchterliche Rechnerei
Joah, das hatte ich aber gestern glaube ich schon mal durchgerechnet...
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 14.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Bastiane
>
> > Du nutzt hier eine der Eigenschaften des Skalarproduktes in
> > [mm]\IC,[/mm] nämlich
> > die Sesquilinearität aus.
> >
> > Sesquilinear bedeute ja:
> >
> > * [mm]\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle[/mm]
>
> >
> > * [mm]\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle[/mm]
>
> >
> > * [mm]\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\bar\lambda x,y\rangle[/mm]
>
> Da stelle ich gerade fest, dass es wohl doch egal ist, ob
> ich sage, dass ich, wenn ich aus der 2. Komponente etwas
> rausziehe, es konjugiere oder ob ich das bei der 1.
> Komponente mache!? Sesquilinear ist einfach nur definiert
> als dass es in einer Komponente linear und in der anderen
> semilinear ist? Und es ist nicht festgelegt, was in welcher
> Komponente!?
>
Nicht ganz:
[mm] =\overline{a}
[/mm]
Aber:
<x;ay>=a<x;y>
> > Und diese Eigenschaft wird gerne auch mal Gleichzeitig
> > angewandt.
> > (Das war der Standardtrick bei unserem Analysis 2
> Prof.)
> > Du nutzt hier wirklich nur die drei Eigenschaften aus.
> >
> > <(x-ay);x-ay>
> > =<(x-ay);x>-<x-ay;ay>
> > =<(x-ay;x>-a<(x-ay);y>
> > =<x;x>-<ay;x>-a(<x;y>-a<y;y>)
> > =<x;x>-<ay;x>-a<x;y>+|a|²<y;y>)
> > [mm]=-\overline{a}-a+|a|²[/mm]
>
> Danke für die Mühe, aber ich glaube, mittlerweile bekomme
> ich das auch wieder selbst hin (vor ein paar Tagen hätte
> ich da schon/noch/wieder Schwierigkeiten mit gehabt...)
>
> > Jetzt wählst du hat genau das a, was in deinem Link
> > vorgegeben ist, und kommst dann auf das gewünschte
> > Ergebnis
>
> Aber wieso kann ich denn das a wählen!??? Muss es nicht für
> alle a gelten? Also, was besagt denn die Ungleichung?
>
Es gilt für alle a. Aber du willst ja die Ungleichung beweisen, also definierst du dir das a so, dass es "Passt".
Ich habe mich damit hier auch sehr schwer getan, das zu "akzeptieren"
> > Ich weiss, das ist eine fürchterliche Rechnerei
>
> Joah, das hatte ich aber gestern glaube ich schon mal
> durchgerechnet...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Mo 14.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > Da stelle ich gerade fest, dass es wohl doch egal ist, ob
> > ich sage, dass ich, wenn ich aus der 2. Komponente etwas
> > rausziehe, es konjugiere oder ob ich das bei der 1.
> > Komponente mache!? Sesquilinear ist einfach nur definiert
> > als dass es in einer Komponente linear und in der anderen
> > semilinear ist? Und es ist nicht festgelegt, was in welcher
> > Komponente!?
> >
>
> Nicht ganz:
> [mm]=\overline{a}[/mm]
> Aber:
> <x;ay>=a<x;y>
da hat bastiane schon recht: es ist im prinzip egal, welchen eintrag man homogen behandelt und welchen man mit einer komplexen konjugation versieht. die komplexe konjugation beim vorderen eintrage ist eben eher die physiker-notation.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo M.Rex!
> > Da stelle ich gerade fest, dass es wohl doch egal ist, ob
> > ich sage, dass ich, wenn ich aus der 2. Komponente etwas
> > rausziehe, es konjugiere oder ob ich das bei der 1.
> > Komponente mache!? Sesquilinear ist einfach nur definiert
> > als dass es in einer Komponente linear und in der anderen
> > semilinear ist? Und es ist nicht festgelegt, was in welcher
> > Komponente!?
> >
>
> Nicht ganz:
> [mm]=\overline{a}[/mm]
> Aber:
> <x;ay>=a<x;y>
Ne, bei mir ist es genau anders herum! Siehe auch Andreas' Mitteilung. 
> > Aber wieso kann ich denn das a wählen!??? Muss es nicht für
> > alle a gelten? Also, was besagt denn die Ungleichung?
> >
>
> Es gilt für alle a. Aber du willst ja die Ungleichung
> beweisen, also definierst du dir das a so, dass es "Passt".
> Ich habe mich damit hier auch sehr schwer getan, das zu
> "akzeptieren"
Das verstehe ich immer noch nicht. Wenn ich doch ein a wähle, dann gilt es nur für dieses a und nicht für alle!? Wieso gilt es denn dann direkt für alle?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 14.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> > > Aber wieso kann ich denn das a wählen!??? Muss es nicht für
> > > alle a gelten? Also, was besagt denn die Ungleichung?
> > >
> >
> > Es gilt für alle a. Aber du willst ja die Ungleichung
> > beweisen, also definierst du dir das a so, dass es "Passt".
> > Ich habe mich damit hier auch sehr schwer getan, das zu
> > "akzeptieren"
>
> Das verstehe ich immer noch nicht. Wenn ich doch ein a
> wähle, dann gilt es nur für dieses a und nicht für alle!?
> Wieso gilt es denn dann direkt für alle?
>
Diese Umformungen gelten ja - wie du schon sagst - für alle a. Also kann ich mir auch ein spezielles a so definieren, dass nachher genau das gewünschte Ergebnis herauskommt.
Ich definiere mir quasi ein spezielles a, so dass am Ende das gewünschte Ergebnis herauskommt.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Bastiane!
> Und wieso steht in der Aufgabenstellung, dass es
> ein Hilbertraum sein soll - was könnte es denn sonst sein
> bzw. welche Cauchy-Schwarzsche Ungleichung würde denn sonst
> gelten?
Ohne (Prä-)Hilbertraum kein Skalarprodukt, also auch keine Ungleichung.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Bastiane!
>
> > Und wieso steht in der Aufgabenstellung, dass es
> > ein Hilbertraum sein soll - was könnte es denn sonst sein
> > bzw. welche Cauchy-Schwarzsche Ungleichung würde denn sonst
> > gelten?
>
> Ohne (Prä-)Hilbertraum kein Skalarprodukt, also auch keine
> Ungleichung.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hmm, das macht Sinn.
Da hätte ich auch drauf kommen können
Marius
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