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Hallo!
Ich soll zwei Aufgabe zu Borelmengen lösen, habe aber den Durchblick verloren.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=26164&start=0&lps=181179#v181179
Es konnte mir bis jetzt noch keiner weiterhelfen. Vielleicht könnt ihr das ja.
Jacky
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Hallo Jacky?
Wie sollen wir dir helfen, wenn wir die Aufgaben nicht kennen?
Schick sie uns doch einfach, und wir werden sehen, was wir für dich tun können.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Also dies sind die beiden Aufgaben.
1.) ES sei B [mm] \in B^1 [/mm] eine eindimensionale Borelmenge. diese wird als Teilmenge B x {0} von [mm] \IR^2 [/mm] aufgefasst. Zeige, dass diese Menge in [mm] B^2 [/mm] ist und berechne das 2-dimensionale Lebesgue-Borel-Maß.
2.) Sei M={x [mm] \in \IR: [/mm] in der Dezimaldarstellung von x taucht keine 5 auf}.
Ist M eine Borel-Menge? Wenn ja berechne [mm] \lambda(M).
[/mm]
Sorry. Aber es wäre echt schön, wenn mir geholfen werden könnte. 
Jacky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sorry, dass sich hier so lange keiner gemeldet hat, aber hier ist halt sehr viel los.
Die erste Aufgabe ist ja trivial: Ist
$B= [mm] \bigcup_{i \in I} [a_i,b_i[$
[/mm]
eine abzählbare Vereinigung rechtshalboffener Quader in [mm] $\IR$,
[/mm]
so ist
$B [mm] \times \{0\} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \bigcup_{i \in I} \left( \left[a_i,b_i \right[ \times \left[0,\frac{1}{n} \right[ \right)$
[/mm]
Borelsch, und es gilt:
[mm] $\lambda^2( [/mm] B [mm] \times \{0\}) [/mm] = [mm] \lambda^1(B) \cdot \lambda^1(\{0\}) [/mm] = [mm] \lambda_1(B) \cdot [/mm] 0 = 0$.
Zur zweiten Aufgabe:
Zunächst einmal ist $M$ Borelsch, da es die abzählbare Vereinigung von Quadern ist.
Es sei nun [mm] $\tilde{M}$ [/mm] die Menge aller Zahlen, in deren Dezimalbruchentwicklung nach dem Komma eine $5$ auftaucht.
Weiterhin sei [mm] $\tilde{M}_i$ [/mm] die Menge aller Zahlen, in deren Dezimalbruchentwicklung nach dem Komma an der $i$-ten Stelle zum ersten Mal eine $5$ auftaucht.
Dann ist:
[mm] $\lambda^1(\tilde{M}_i) [/mm] = [mm] \left( \frac{9}{10}\right)^{i-1} \cdot \frac{1}{10}$
[/mm]
und (da [mm] $\tilde{M}$ [/mm] die disjunkte Vereinigung der [mm] $\tilde{M}_i$ [/mm] ist):
[mm] $\lambda^1(\tilde{M}) [/mm] = [mm] \frac{1}{10} \sum\limits_{i=1}^{\infty} \left(\frac{9}{10}\right)^{i-1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{9}{10}}$
[/mm]
$=1$.
Daher ist insbesondere:
[mm] $\lambda^1(M)=0$. [/mm]
Die Menge aller reellen Zahlen, in deren Dezimalbruchentwicklung keine $5$ vorkommt, ist also eine Lebesgue-Nullmenge.
Liebe Grüße
Julius
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