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Bild einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 Di 09.12.2003
Autor: AstridW

Guten Morgen!
Wir schreiben am Freitag eine LA-Klausur und ich habe noch nicht so ganz verstanden, wie man am besten das Bild einer lin. Abbildung bestimmt.
Wenn man zum Beispiel hat:
f:R 3 nach R 3
f: (x,y,z) nach (x+2y+z, y+z, -x+3y+4z)
Wie bestimmt man dann das Bild am einfachsten???
Und der Kern ist doch dann (1,-1,1), oder????

Astrid


        
Bezug
Bild einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Di 09.12.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,


> Wir schreiben am Freitag eine LA-Klausur und ich habe noch
> nicht so ganz verstanden, wie man am besten das Bild einer lin.
> Abbildung bestimmt.
> Wenn man zum Beispiel hat:
> f:R 3 nach R 3
> f: (x,y,z) nach (x+2y+z, y+z, -x+3y+4z)
> Wie bestimmt man dann das Bild am einfachsten???

Hilfreich hierbei ist die Tatsache, dass sowohl Kern, als auch Bild einer linearen Abbildung (Unter-) Vektorräume sind.
Der [mm]\IR^3[/mm] hat aber nur vier verschiedene "Klassen" von Unterräumen:
0-dimensional: Punkt (=0-Vektor, da Vektorraum)
1-dimensional: Gerade (durch 0, da VR)
2-dimensional: Ebene (durch 0, da VR)
3-dimensional: Der ganze Raum

Wir müssen also zunächst die "Klasse" herausfinden und im 1-dim und 2-dim Fall den UVR genauer beschreiben (im 0-dim und 3-dim Fall ist er natürlich eindeutig bestimmt).



Falls du schon Matrizen und deren Rang kennst:
Dann würde ich aus der gegebenen Abbildungsvorschrift die entsprechende Abbildungsmatrix ermitteln (geht ganz einfach ;-)) und von ihr den Rang ermitteln. Der Rang der Matrix oder allgemein einer linearen Abbildung ist gerade die Dimension des Bildes.
Die genaue Beschreibung des Bildes steht dann natürlich noch aus:

Es gibt sicher mehrere Wege, das Bild zu bestimmen, ich schlage diesen vor:

Setze mit diesem Gleichungssystem an:
x+2y+z = a
y+z = b
-x+3y+4z = c

Der Vektor (a; b; c) ist ja ein Vektor aus dem Bildraum, und unser Ziel ist es,  Gleichungen zu finden, die unabhängig von x, y und z sind (in denen sozusagen die "Herkunft" dieses Bildraumes nicht mehr erkennbar ist).

Auf das obige Gleichungssystem wende ich ganz stur den Gaußschen Algorithmus an, um die linke Seite auf Dreiecksgestalt zu bringen:

Addiere die 1. Gleichung zur 3.:
x+2y+z=a
y+z = b
5y+5z = a+c

Addiere das (-5)fache der 2. Gleichung zur 3.:
x+2y+z=a
y+z = b
0 = a-5b+c

Hier sieht man jetzt sehr schön die Lösung:
Es ist eine Ebene, die die Gleichung 0=a-5b+c hat (das ist die bekannte Normalenform der Ebene).

Jetzt wirst du dich sicher fragen, wie dieses LGS bei anderen Abbildungen aussieht und wie man da das Bild bestimmen kann.

Entscheidend ist, wie viele Gleichungen,die von x, y und z "frei" sind, entstehen, wenn du das LGS auf Dreiecksgestalt bringst.
Keine solche Gleichung = 3-dim Bildraum
1 solche Gleichung (siehe oben) = 2-dim Bildraum
2 solche Gleichungen = 1-dim Bildraum
3 solche Gleichungen = 0-dim Bildraum

Der letzte Fall ist trivial, da es sich um die Nullabbildung handelt.

Interessant ist noch der 1-dim Fall. Da haben wir ja zwei Gleichungen gefunden, die kein x,y und z mehr enthalten. Das sind ja zwei Ebenengleichungen, und die Lösung (also der Bildraum) ist dann der Schnitt dieser beiden Ebenen, den du dann noch berechnen mußt (die Aufgabe ist dann also, den Schnitt zweier in Normalenform gegebener Ebenen zu finden, und die Lösungsgerade in Parameterform anzugeben; dies ist aber nicht schwer, denn du kannst so argumentieren: Der Bildraum ist auf jeden Fall ein VR, und da wir schon wissen, dass es 1-dimensional ist, benötigen wir nur einen einzigen von 0 verschiedenen Vektor, weil auch alle seine Vielfache im VR liegen bzw. der VR nur aus seinen Vielfachen besteht.)

> Und der Kern ist doch dann (1,-1,1), oder????

Da der Kern ja ein VR ist, kann dies nicht stimmen. Allerdings liegt dein Vektor im Kern, und da wir
1. wissen, dass der Kern ein VR ist und
2. wissen, dass der Kern 1-dimensional sein muß
(Wegen der Dimensionsformel F: V->W, F lineare Abb.
=> dim V = dim Kern F + dim Bild F
Hier also:
3 = dim Kern F + 2 <=> dim Kern F = 1)
besteht der Kern aus allen Vielfachen deines Vektors, der Kern ist also eine Gerade (notwendigerweise durch den Ursprung)

Ich hoffe, das war alles einigermaßen verständlich...

Viel Erfolg für die Klausur,
Marc


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Bild einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Di 09.12.2003
Autor: AstridW

Danke, das war echt hilfreich. Also kann ich jetzt als Basis des Bildes ((1,0,1), (2,1,3)) wählen, oder?

Und dann habe ich noch ein neues Problem: wie funktioniert das ganze dann mit Matrizen? Wenn ich zum´Beispiel habe:
[mm] A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \in V=\IK^{2\times 2}[/mm] und [mm] \phi: V \rightarrow V [/mm] definiert durch [mm] \phi(X) = AX-XA \;\;\; \forall X \in V [/mm]????

Wie lautet dann die Basis von Kern und Bild??

Ich hab da bisher nämlich nur raus, dass die Basis vom Kern [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] ist, aber ich glaube, das ist ziemlich falsch.

Astrid


Danke, das war echt hilfreich. Also kann ich jetzt als Basis des Bildes ((1,0,1), (2,1,3)) wählen, oder?

Und dann habe ich noch ein neues Problem: wie funktioniert das ganze dann mit Matrizen? Wenn ich zum´Beispiel habe:

A=(01)
    (00) element V=K 2kreuz2 und phi: V nach V definiert durch phi(X)=AX-XA für alle X element V????

Wie lautet dann die Bais von Kern und Bild??

Ich hab da bisher nämlich nur raus, dass die Basis vom Kern (11)
                                                                                                (01) ist, aber ich glaube, das ist ziemlich falsch.

Astrid

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Bild einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 09.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid,

bevor sich jemand von uns zur zweiten Aufgabe äußert:

Astrid schrieb:

> Danke, das war echt hilfreich. Also kann ich jetzt als Basis
> des Bildes ((1,0,1), (2,1,3)) wählen, oder?

Wie kommst du auf (1,0,1)? für mich liegt das nicht im Bild. Überprüfe das bitte noch einmal und korrigiere es (oder mich ;-)).

Alles Gute
Stefan


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Bild einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Di 09.12.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Danke, das war echt hilfreich. Also kann ich jetzt als Basis
> des Bildes ((1,0,1), (2,1,3)) wählen, oder?

Da hast du wahrscheinlich beim ersten Vektor ein Vorzeichen vergessen.

> Und dann habe ich noch ein neues Problem: wie funktioniert das
> ganze dann mit Matrizen? Wenn ich zum´Beispiel habe:

Vom äußeren Erscheinungsbild einer Zahlengruppierung würde ich mich nicht irritieren lassen; ob man die Zahlen in nur einer Spalte (wie bei Vektoren) oder in mehreren Spalten hinschreibt, spielt keine Rolle. Bei dieser Aufgabe muß du auch nur an einer einzigen Stelle überhaupt benutzen, dass es sich um Matrizen handelt: Nämlich bei der Definition von [mm]\phi[/mm]. Da mußt du zwei Mal die Matrizenmultiplikation verwenden (s.u.), aber als Ergebnis kommt einfach eine Matrix heraus, die man genauso gut auch als Vektor mit vier Komponenten auffassen könnte.

> [mm] A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \in V=\IK^{2\times 2}[/mm] und [mm] \phi: V \rightarrow V [/mm] definiert durch [mm] \phi(X) = AX-XA \;\;\; \forall X \in V [/mm]????
>
> Wie lautet dann die Basis von Kern und Bild??

Ich vereinfache zunächst einmal die Abbildung [mm]\phi[/mm]:

[mm] X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] [mm] \phi(X) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]
[mm]=[/mm][mm] \begin{pmatrix} x_{21} & x_{22} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & x_{11} \\ 0 & x_{21} \end{pmatrix} [/mm]
[mm]=[/mm][mm] \begin{pmatrix} x_{21} & x_{22}-x_{11} \\ 0 & -x_{21} \end{pmatrix} [/mm]

Also lautet die Abbildung:

[mm] \phi\left( \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} x_{21} & x_{22}-x_{11} \\ 0 & -x_{21} \end{pmatrix} [/mm]

Der Kern besteht nun aus allen [mm] X [/mm], so dass [mm]\phi(X)=0[/mm]
Also:

[mm]\begin{pmatrix} x_{21} & x_{22}-x_{11} \\ 0 & -x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] [mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] \left\{\begin{array}{l} x_{21} = 0 \\ x_{22}-x_{11} = 0 \\ -x_{21} = 0 \\ 0 = 0 \end{array}\right.[/mm] [mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] \left\{\begin{array}{l} x_{21} = 0 \\ x_{11} = x_{22} \\ x_{12} = x_{12} \\ x_{22} = x_{22} \end{array}\right.[/mm]

Hier sieht man jetzt sehr schön, dass [mm]x_{22}[/mm] und [mm]x_{12}[/mm] frei gewählt werden können, was ich dadurch ausdrücke, indem ich sie durch zwei Parameter [mm]s[/mm] und [mm]t[/mm] ersetze (übrigens heißt das dann auch, dass der Kern 2-dim ist):

[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] \left\{\begin{array}{l} x_{21} = 0 \\ x_{11} = s \\ x_{12} = t \\ x_{22} = s \end{array}\right.[/mm]

[mm] \Leftrightarrow [/mm] [mm] X=\begin{pmatrix} s & t \\ 0 & s \end{pmatrix} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm] X=s*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]

Der Kern hat also die beiden Basisvektoren
[mm] ker \phi = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} [/mm]


> Ich hab da bisher nämlich nur raus, dass die Basis vom Kern
> [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] ist, aber ich glaube, das ist ziemlich
> falsch.

So falsch ist das ja nicht, ich weiß ja nicht, wie du darauf gekommen bist. Wenn du aber nur ein Basiseelemt angibst, kommt dadurch ja nicht zum Ausdruck, dass der Eintrag rechts oben unabhängig von den anderen gewählt werden kann, dass wir also einen 2-dim Raum haben. Ich hoffe, das ist deutlich geworden, sonst frage bitte nach.

Oh je, jetzt noch das Bild berechnen. Immerhin wissen wir schon, dass es 2-dim sein muß, wegen meiner in der anderen Antwort erwähnten Dimensionsformel. Ich poste schon mal den Ansatz, vielleicht schaffst du es ja dann, die Rechnung alleine fortzuführen bzw. das richtige zu folgern.

Für einen Vektor [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}[/mm] des Bildes gilt:
[mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_{21} & x_{22}-x_{11} \\ 0 & -x_{21} \end{pmatrix} [/mm]

Daraus mache jetzt vier Gleichungen und wende die Berechnungsweise meiner vorherigen Antwort an. Bitte melde dich mit deinem Ergebnis!

Viel Erfolg,
Marc.


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Bezug
Bild einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 11.12.2003
Autor: AstridW

So, ich hab jetzt für das Bild folgendes heraus:

B= (1 0) ; (01)
     (0-1)   (00)

Ist das richtig??

Bezug
                                        
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Bild einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Do 11.12.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

ja, das ist richtig, habe ich auch heraus bekommen! :-)

Viel Erfolg für die Klausur morgen,
Marc


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