Bijektion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Fr 25.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Bijektion von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR \setminus [/mm] {0} an. |
Hallo,
Ich hab große Schwierigkeiten eine solche Bijektion zu finden, f(x) = 1/x wäre ja an der Stelle x=0 nicht wohldefiniert. Meine Idee war, dass es irgendwas mit e-Funktion zu tun haben könnte. f(x)= [mm] e^x [/mm] bildet ja auf alle positiven reellen Zahlen ab und f(x)= [mm] -e^x [/mm] auf alle negativen..., könnte also irgendwie ein Mix aus beidem sein... Die Surjektivität macht das ganze so schwer.
Hoffe irgendjemand hat einen Tipp für mich. Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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Du sollst ja die 0 auslassen. Dann teilst du einfach die Funktion auf
[mm] $f_i [/mm] : [mm] \IR \to \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
[m]f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases}[/m]
[m]f_2(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \geq 0 \\ x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/m]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 25.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
> Du sollst ja die 0 auslassen. Dann teilst du einfach die
> Funktion auf
>
> [mm]f_i : \IR \to \IR \setminus \{0\}[/mm]
> [m]f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases}[/m]
>
> [m]f_2(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \geq 0 \\ x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/m]
Danke, aber gibt es da denn keine eindeutige Funktion, eigentlich sind das doch 2 Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}...?
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du sollst ja die 0 auslassen. Dann teilst du einfach die
> > Funktion auf
> >
> > [mm]f_i : \IR \to \IR \setminus \{0\}[/mm]
> >
> [m]f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases}[/m]
>
> >
> > [m]f_2(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \geq 0 \\ x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/m]
>
> Danke, aber gibt es da denn keine eindeutige Funktion,
> eigentlich sind das doch 2 Funktionen [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}...?[/mm]
wie Angela bereits angemerkt hat, ist diese "Lösung" alles andere als eine Lösung Deiner Aufgabe.
Betrachte mal
[mm] $$f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,.$$
[/mm]
Das ist zwar keine Bijektion [mm] $\IR \setminus \{0\} \to \IR,$ [/mm] wohl aber eine [mm] $\IR \to \IR\setminus \{0\}\,.$ [/mm] Also Stichwort: Umkehrfunktion.
Wie beweist man, dass $f: [mm] \IR \to \IR\setminus \{0\}$ [/mm] bijektiv ist? Das [mm] $f((-\infty,0))=(-\infty,0)$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] injektiv ist, ist klar. Ferner gilt $f(x) [mm] \not=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in (-\infty,0)\,.$
[/mm]
Die Injektivität auf [mm] $[0,\infty)$:
[/mm]
Falls [mm] $f(x)=f(y)\;$ [/mm] für $x,y [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$2[x]+1-x=2[y]+1-y\;$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2[x]-x=2[y]-y$$
[mm] $$\gdw [x]\;-x/2=[y]\;-y/2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [x]-[y]=\frac{x-y}{2}\,.$$
[/mm]
Damit muss [mm] $\blue{x=y+k*2}\;$ [/mm] mit einem [mm] $\blue{k \in \IZ}$ [/mm] sein, weil $[x]-[y] [mm] \in \IZ$ [/mm] ist (andernfalls wäre [mm] $\frac{x-y}{2} \notin \IZ$). [/mm] Dann folgt aber [mm] $[x]-[y]=[y+k*2]-[y]=k*2=\frac{x-y}{2}=k\,,$ [/mm] was [mm] $k=0\;$ [/mm] und damit [mm] $x=y\,$ [/mm] liefert.
Zur Surjektivität:
Benutze
[mm] $$[0,\infty)=\bigcup_{n \in \IN}[n-1,\,n)$$
[/mm]
und zeige dafür noch
[mm] $$f([n-1,n))=(n-1,n]\,.$$
[/mm]
Dann ergibt sich nämlich [mm] $f([0,\infty))$ [/mm] als
$$(0,1] [mm] \cup [/mm] (1,2] [mm] \cup [/mm] (2,3] [mm] \cup [/mm] (3,4] [mm] \cup \ldots$$
[/mm]
P.S.:
Zeichne Dir vor allem mal den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] (mindestens den von [mm] $f\,$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $[0,\infty)$), [/mm] damit Du eine Idee bekommst, wie ich auf den obigen Funktionsterm kam.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Fr 25.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
Danke nochmal,
> Betrachte mal
> [mm]f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,.[/mm]
>
Was bedeutet diese eckige Klammer um das x? Ist [x] nicht das selbe wie x? Gaußklammern sind das ja wohl offensichtlich keine und Betragsstriche sehen für mich ebenfalls anders aus ...
Ich weiß, dass manchmal so Restklassen bzw. Äquivalenzklassen geklammert werden, aber das kanns ja auch nicht sein...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke nochmal,
>
> > Betrachte mal
> > [mm]f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,.[/mm]
>
> >
> Was bedeutet diese eckige Klammer um das x? Ist [x] nicht
> das selbe wie x? Gaußklammern sind das ja wohl
> offensichtlich keine...
doch: es ist damit die Gaußklammer(funktion) [mm] $[x]:=\text{max}\{z \in \IZ: z \le x\}\;\;(x \in \IR)$ [/mm] gemeint. Wenn Du es plotten läßt (z.B. bei Arndt Brünners Homepage), dann schreibt man manchmal dafür auch [mm] $\;int(x)\,.$
[/mm]
Wenn es Dich verwirrt hat:
Neben [mm] $[x]\;$ [/mm] schreibt man auch [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor\,$ [/mm] (vgl. z.B. ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Gaußklammer) was wahrscheinlich "symbolisch das Abrunden hervorheben soll". Wie gesagt:
Lass' Dir ruhig mal [mm] $2*int(x)+1-x=2[x]+1-x=2\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor +1-x\;$ [/mm] plotten. Du wirst sehen, dass ich eine (stückweise stetige) Funktion auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] definiert habe, wobei diese "Stückchen" graphisch "linksabgeschlossene und rechtsoffene" Strecken sind, die jeweils auf einer gewissen Geraden liegen. (Also nicht alle gemeinsam auf einer Geraden, sondern es sind gewisse "Abschnitte" von mehreren Geraden.)
Schreibe Dir ruhig mal hin, wie der Funktionsterm [mm] $f(x)\;$ [/mm] auf [mm] $[0,1),\;$ $[1,2)\;$ [/mm] und vielleicht auch noch auf [mm] $[2,3)\;$ [/mm] konkret aussieht.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 26.06.2010 | | Autor: | ms2008de |
Danke nochmals. Ich kenn eben nur die Schreibweise [mm]\lfloor x \rfloor\,[/mm] für die Gaußklammer
Viele Grüße
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> Du sollst ja die 0 auslassen. Dann teilst du einfach die
> Funktion auf
>
> [mm]f_i : \IR \to \IR \setminus \{0\}[/mm]
> [m]f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases}[/m]
>
> [m]f_2(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \geq 0 \\ x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/m]
Hallo,
[mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] sind aber keine Surjektionen [mm] \IR\to \IR\\{0\}.
[/mm]
Und falls das irgendwie eine Funktion sein soll - so ist es keine Funktion. (Eindeutigkeit der Zuordnung)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Fr 25.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Da seh ich nicht so ein. Mit aufteilen meinte ich
[m]$ f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases} $[/m]
als eine Lösung.
Warum soll es keine Surjektion sein. [mm] $\forall y\in (\IR \setminus \{0\})\exists x\in \IR$ [/mm] und Injektiv zu allemal. Umkehrfunktion wäre ja
[m]$ f_1(x)^{-1}=g(y)=\begin{cases} y, & \mbox{für } y >0 \\ y+1, & \mbox{für } y \leq 0 \end{cases} $[/m]
Damit ist es eine Bijektion. Entweder steh grad total auf dem Schlauch oder mein Beitrag wurde schlecht gelesen.
Gibt es eine Stelle wo das nicht Surjektiv sein sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 25.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast insofern mit deiner Funktion ein "Problem" dass im Intervall I:=[-1;0[ keine Bilder von f liegen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da seh ich nicht so ein. Mit aufteilen meinte ich
> [m]$ f_1(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x >0 \\ x-1, & \mbox{für } x \leq 0 \end{cases} $[/m]
>
> als eine Lösung.
>
> Warum soll es keine Surjektion sein. [mm]\forall y\in (\IR \setminus \{0\})\exists x\in \IR[/mm]
> und Injektiv zu allemal. Umkehrfunktion wäre ja
>
> [m]$ f_1(x)^{-1}=g(y)=\begin{cases} y, & \mbox{für } y >0 \\ y+1, & \mbox{für } y \leq 0 \end{cases} $[/m]
die komischerweise wegen [mm] $g(1/2)=1/2=-1/2\;+1=g(-1/2)$ [/mm] nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv ist. Ist aber eine Funktion bijektiv, so auch die zugehörige Umkehrfunktion.
> Damit ist es eine Bijektion. Entweder steh grad total auf
> dem Schlauch oder mein Beitrag wurde schlecht gelesen.
>
> Gibt es eine Stelle wo das nicht Surjektiv sein sollte?
Nenne mir mal ein [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=-1/2\,.$ [/mm] Es gibt nämlich keins, da
[mm] $$f_1(\IR)=f_1((-\infty,0])\cup f_1((0,\infty))=(-\infty,-1] \cup (0,\infty)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Zeichne Dir doch mal das Schaubild des Graphen von [mm] $f_1\,.$ [/mm] Da wird Dir sicher einiges klarer werden.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Sa 26.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> die komischerweise wegen [mm]g(1/2)=1/2=-1/2\;+1=g(-1/2)[/mm]
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") Ich war natürlich nur so clever und habe an Werte in [mm] $\IN$ [/mm] gedacht. Ja ne is klar. Ok sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo ms2008de,
ein etwas einfacherer Funktionsterm als der von Marcel dürfte ein
[mm] $f(x):=\begin{cases}x+1 & \text{ falls } x\in \IN_0 \\ x & \text{ sonst }\end{cases}$
[/mm]
Injektivität und Surjektivität sind unmittelbar nachprüfbar, kannst du ja mal machen und hier vorstellen.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wie bereits von Marc erwähnt, kann man hier eigentlich sehr viele Funktionen angeben. Sofern mich nicht alles täuscht, sollte man das ganze auch so machen können, dass man eine "injektive Folge" [mm] $(a_n)_n$ [/mm] benutzt, wobei z.B. hier [mm] $f\,$ [/mm] zuvor eine Bijektion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] gewesen sei; z.B. die Identität.
(Die Folge muss dabei zudem eine Bedingung bzgl. der "ausgenommen Stelle" oder des "ausgenommenen Funktionswertes" erfüllen, je nachdem, welche der beiden Bijektionen [mm] $f:\IR \to \IR \setminus \{0\}$ [/mm] oder [mm] $f^{-1}:\IR \setminus \{0\}\to \IR$ [/mm] man angeben möchte.)
Da ich das ganze nun nicht komplett nochmal ausführen möchte, hänge ich eine Datei an, die z.B. zeigt, wie man eine Bijektion $[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1)$ konstruieren kann, sofern man irgendeine Bijektion $[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ zuvor angegeben hat. Mit ein paar Überlegungen läßt sich das ganze analog auf den hier erwähnten Fall übertragen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Konstruktion einer Bijektion [0,1] nach [0,1)
Korrektur:
In der Datei sollte [mm] $f(x)=x\;$ [/mm] auf [mm] $[0,1\red{)}\setminus [/mm] A$ stehen.
Beste Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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