Beweis finden < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | V und K seien 2 [mm] $\IK$-Vektorräume [/mm] und $f:V [mm] \rightarrow [/mm] W$ eine Lineare Abbildung.
[mm] ${a_1,...,a_n}$ [/mm] sei eine Basis von V mit $Ker f= [mm] $
[/mm]
Zeigen Sie dass
1. [mm] $f(a_{t+1}),...,f(a_n)$ [/mm] linear unabhängig sind
2. $Im [mm] f= [/mm] $ |
Ich hoffe jemand kann mir detailliert erklären, wie ich das im einzelnen machen soll. Ich habe noch nicht viel Erfahrung mit linearen Abbildungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Aufgabe sieht vielleicht erst mal etwas überwältigend aus, aber fangen wir erst einmal ganz einfach an. Die Definition von linearer Unabhängigkeit kennst du ja sicher. Du sollst nun zeigen, dass [mm] $f(a_{t+1}), [/mm] ..., [mm] f(a_n)$ [/mm] linear unabhängig sind. Wende einfach mal die Definition an.
Du willst zeigen: [mm] $\lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n)=0 \Rightarrow \lambda_{t+1}=...=\lambda_n=0$. [/mm] Das ist jetzt dein großes Ziel.
Nützlich hierbei ist:
- f ist linear. Du kannst [mm] $\lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n)$ [/mm] also umschreiben
- die ganzen [mm] $a_{t+1},...,a_n$ [/mm] liegen NICHT im Kern von f (warum?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Naja ich weiß bloß, dass [mm] $a_{t+1},...a_n$ [/mm] nicht im Kern von f liegen, weil sie nicht auf den Nullvektor von W abgebildet werden.
Aber wie man jetzt $ [mm] \lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n) [/mm] $ umschreiben kann/sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Naja ich weiß bloß, dass [mm]a_{t+1},...a_n[/mm] nicht im Kern
> von f liegen, weil sie nicht auf den Nullvektor von W
> abgebildet werden.
Nicht nur das. Auch keine Linearkombination dieser Vektoren liegt im Kern.
> Aber wie man jetzt
> [mm]\lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n)[/mm] umschreiben
> kann/sollte
Wende die Linearität von $f$ an.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Meinen Sie:
$ [mm] \lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n) [/mm] = f( [mm] \lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n)$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau so!
Also hast du nun f(...)=0. Jetzt musst du begründen, dass die Pünktchen =0 sein müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
und Wie mache ich das genau?
[mm] $a_{t+1},...,{a_n}$ [/mm] müssen ja linear unabhängig sein, weil sie in der Basis von V vorkommen und diese als Definition hat, das alle Vektoren linear unabhängig sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Nimm mal an, dass [mm] f(\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n)=0 [/mm] für [mm] \lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n\not=0 [/mm] gilt. (Das willst du nun zum Widerspruch führen.) Das würde bedeuten, dass [mm] $\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n \in [/mm] ker(f)$ gilt, wobei eben nicht alle Lambdas 0 sind. Ok, nun kennst du die Basis von dem Kern. Also kann man [mm] $\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n$ [/mm] irgendwie mit den Basisvektoren [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_t$ [/mm] zusammensetzen, d.h. [mm] $\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n=\lambda_1a_1+...+\lambda_ta_t$. [/mm] (ich betone nochmal: es sind nicht alle Lambdas 0!)
Kann das sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ich nehme mal an, dass das nicht geht. Wieso nicht, kann ich mir allerdings leider nicht erklären :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ist denn bis hierhin alles klar:
$ [mm] \lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n=\lambda_1a_1+...+\lambda_ta_t [/mm] $?
Hierbei waren nicht alle Lambdas 0. Schreiben wir die Gleichung mal etwas anders:
$ [mm] -\lambda_1a_1-...-\lambda_ta_t+ \lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n=0$. [/mm] Nun weiß du, dass [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] linear unabhängig sind. Was folgt nun? Und das bedeutet das Ergebnis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
nur mal nebenbei:
Du hattest angenommen, dass [mm] $\sum_{k=t+1}^n \lambda_k a_k \not=0$
[/mm]
ist. Diese Annahme brauchst Du gar nicht - genauso, wie Du es getan hast,
folgt mit Deinen Überlegungen - wegen [mm] $\sum_{k=t+1}^n \lambda_k a_k \in \text{ker}(f)$ [/mm] - dann [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] für alle $k [mm] \ge t+1\,.$
[/mm]
Nur mal so nebenbei: Du machst da aus einem direkten Beweis einen
"Pseudo-Widerspruchsbeweis". ( Nicht, dass ich sowas nicht auch schon
getan hätte.  )
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Uff, ja, du hast Recht. :) Ich wusste am Anfang noch nicht, in welche Richtung der Beweis geht, von daher hab ich den immer Schritt für schritt aufgebaut, ohne irgendwie zu weit nach vorn zu denken.
Besser wäre es im Nachhinein, wenn man direkt von der linearen Unabhängigkeit von [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_n$ [/mm] ausgeht, und daraus f(...)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] alle Lambdas=0 folgert, das stimmt.
Obwohl ich es persönlich mehr mag, wenn man sieht, warum man Sachen so beweist, wie man sie beweist, Wenn Sachen vom Himmel fallen kann man natürlich immer alles abnicken, weil es ja stimmt. Für Konvergenzbeweis kann ich natürlich sagen "Für [mm] n>max\{\varepsilon^2+\delta, \sqrt{\delta}\} [/mm] liegt die Folge in irgendeiner Umgebung", aber ich finde es immer ganz nett, wenn im Beweis selbst schon diese magische Grenze irgendwie ersichtlich wird, und man nicht nachrechnet, dass es die Grenze tut.
Allerdings zieht so etwas Beweis ja auch immer in die Länge, weswegen so etwas nicht so oft gemacht wird. Zumindest lese ich solche Herangehensweisen nicht so oft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:56 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Hi!
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> Uff, ja, du hast Recht. :) Ich wusste am Anfang noch nicht,
> in welche Richtung der Beweis geht, von daher hab ich den
> immer Schritt für schritt aufgebaut, ohne irgendwie zu
> weit nach vorn zu denken.
das macht ja nichts. Ich wollte nur drauf aufmerksam machen. Ich meine:
Wie oft werden Beweise $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ geführt, indem man eigentlich
[mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$ (Kontraposition) zeigt und dass dann doch
als Widerspruchsbeweis verkauft:
"Angenommen, [mm] $A\,$ [/mm] gelte. Wir zeigen, dass [mm] $\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg A\,.$
[/mm]
Dann folgt der Widerspruch $A [mm] \wedge \neg A\,$..."
[/mm]
Im Prinzip machst Du auch sowas.
> Besser wäre es im Nachhinein, wenn man direkt von der
> linearen Unabhängigkeit von [mm]a_1, ..., a_n[/mm] ausgeht, und
> daraus f(...)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] alle Lambdas=0 folgert, das
> stimmt.
>
> Obwohl ich es persönlich mehr mag, wenn man sieht, warum
> man Sachen so beweist, wie man sie beweist,
Das sieht man aber auch, wenn man alles genauso macht, wie Du es getan
hast, halt ohne die [mm] $\not=0$ [/mm] Annahme.
> Wenn Sachen vom
> Himmel fallen kann man natürlich immer alles abnicken,
> weil es ja stimmt. Für Konvergenzbeweis kann ich
> natürlich sagen "Für [mm]n>max\{\varepsilon^2+\delta, \sqrt{\delta}\}[/mm]
> liegt die Folge in irgendeiner Umgebung", aber ich finde es
> immer ganz nett, wenn im Beweis selbst schon diese magische
> Grenze irgendwie ersichtlich wird, und man nicht
> nachrechnet, dass es die Grenze tut.
Hehe, ja, ich finde, an der Uni wird man da auch gelehrt, Sachen zu
verschleiern. Man überlegt etc. ja alles auf dem Schmierzettel und schreibt
dann hinterher einfach noch sein Ergebnis der Überlegungen auf und
rechnet vor, dass es das tut. Das "Konstruktive" beim Beweis wird meist
nicht präsentiert.
Manche Dozenten - zumindest einer meiner Dozenten - war da didaktisch
ein wenig besser, wie ich finde:
Bei etwa Stetigkeitsbeweisen hat er [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und halt [mm] $x_0$
[/mm]
fest vorgegeben. Aber anstatt dann ein [mm] $\delta$ [/mm] anzugeben, stand dann
da:
"Sei zunächst [mm] $\delta [/mm] > 0$ unbestimmt. Es gelten folgende
Abschätzungen: ... " und am Ende dann: "Daher sehen wir, dass die Wahl
von [mm] $\delta:=...$ [/mm] geeignet ist." (Er meinte dann: Wer's nicht glaubt, kann
dann halt den Beweis nun so, wie in anderen Vorlesungen vorgeführt, ja
entsprechend selbst führen!)
> Allerdings zieht so etwas Beweis ja auch immer in die
> Länge, weswegen so etwas nicht so oft gemacht wird.
> Zumindest lese ich solche Herangehensweisen nicht so oft.
Eigentlich zieht das den Beweis nicht in die Länge - denn prinzipiell macht
man ja genau das gleiche wie sonst, auch die "Kniffe/Tricks" sind die
gleichen.
Was bei solchen Beweisen halt die Gefahr ist: Dass man irgendwo etwa
nur [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] folgert, aber [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] gebraucht hätte. Und
wenn das dann noch gut "verschleiert/versteckt" ist - so dass man etwa
anstatt des [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] an der Stelle bei "nicht peniblen Drüberlesen"
sogar glaubt, dass man da auch ein [mm] "$\gdw$" [/mm] schreiben könnte, findet
man den Fehler in solchen Beweisen nicht.
Aber wie gesagt: Prinzipiell kann ich Dir fast jeden Beweis auch
"konstruktiv" hinschreiben - und eigentlich ist das ja auch das, was man
beim Lösen von Übungsaufgaben meist machen muss - wenn nicht gerade
Hinweise gegeben sind, die ein "direktes Nachrechnen" erlauben. Das ist
übrigens etwas, was mich an der Lehre in der Universität schon immer
gestört hat: Dass die ganzen Beweise da so geführt werden, als wenn
jemand das nur mit einer passenden Eingebung könnte. Die
"konstruktiven Schritte" dabei werden gar nicht mehr als konstruktiv
erkannt.
Mal ganz blöd:
Nehmen wir an, es wäre zu beweisen:
$$xy [mm] \le \frac{x^2+y^2}{2}\,.$$
[/mm]
Dann wird das so präsentiert:
Es gilt
[mm] $$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] ...$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] xy [mm] \le \frac{x^2+y^2}{2}\,.$$
[/mm]
Wunderbar...aber wie kommt man selber drauf, dass man [mm] $(x-y)^2 \ge [/mm] 0$
benutzen kann?
Nunja:
$$xy [mm] \le \frac{x^2+y^2}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2xy [mm] \le x^2+y^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-2xy+y^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Und jetzt sieht man: Wenn man [mm] $x^2-2xy+y^2 \ge [/mm] 0$ begründen kann,
dann kann man bei den [mm] "$\gdw$" [/mm] die [mm] "$\Leftarrow$'s" [/mm] benutzen und
durch Lesen der Umformungen von unten nach oben die Behauptung
folgern:
Und jetzt erinnert man sich an [mm] $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\,.$ [/mm] Hier wird nichts
verschleiert.
Und weil es gerade so schön passt:
So ein bisschen "kreatives Vorgehen" findet man etwa beim Durchstöbern
dieses Threads.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 So 25.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
bei einem so spannenden Beitrag möchte ich auch meinen Senf dazugeben...
> Wie oft werden Beweise [mm]A \Rightarrow B[/mm] geführt, indem man
> eigentlich
> [mm]\neg B \Rightarrow \neg A[/mm] (Kontraposition) zeigt und dass
> dann doch
> als Widerspruchsbeweis verkauft:
> "Angenommen, [mm]A\,[/mm] gelte. Wir zeigen, dass [mm]\neg B \Rightarrow \neg A\,.[/mm]
>
> Dann folgt der Widerspruch [mm]A \wedge \neg A\,[/mm]..."
Das finde ich in der Tat suboptimal. Aber
"Angenommen B. Bla bla bla, also [mm] $\neg [/mm] A$, Widerspruch."
halte ich durchaus für eine angemessene Formulierung eines Kontrapositions-Beweises als Widerspruchs-Beweis. Ich halte sie für übersichtlicher als
"Wir zeigen anstatt [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ die Aussage [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$. Lassen wir also die Voraussetzung $A$ wieder weg und nehmen stattdessen die Voraussetzung [mm] $\neg [/mm] B$ an. Bla, bla, bla, also wie gewünscht [mm] $\neg [/mm] A$."
> Hehe, ja, ich finde, an der Uni wird man da auch gelehrt,
> Sachen zu
> verschleiern. Man überlegt etc. ja alles auf dem
> Schmierzettel und schreibt
> dann hinterher einfach noch sein Ergebnis der
> Überlegungen auf und
> rechnet vor, dass es das tut. Das "Konstruktive" beim
> Beweis wird meist
> nicht präsentiert.
Meiner Meinung nach kann es dafür auch gute Gründe geben. Es ist einfach leichter, einen fertigen Beweis Schritt für Schritt nachzuvollziehen als Überlegungen von verschiedenen Seiten, die sich dann irgendwie zu einem fertigen Beweis zusammenbasteln lassen.
Daher halte ich es für eine gute Lösung, wenn allgemeine Beweise in Vorlesungen in fertiger Form präsentiert werden und wenn in konkreten Beispielen in Übungsgruppen eine Vorgehensweise zur Lösungsfindung präsentiert wird.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo zusammen,
>
>
> bei einem so spannenden Beitrag möchte ich auch meinen
> Senf dazugeben...
>
>
> > Wie oft werden Beweise [mm]A \Rightarrow B[/mm] geführt, indem man
> > eigentlich
> > [mm]\neg B \Rightarrow \neg A[/mm] (Kontraposition) zeigt und
> dass
> > dann doch
> > als Widerspruchsbeweis verkauft:
> > "Angenommen, [mm]A\,[/mm] gelte. Wir zeigen, dass [mm]\neg B \Rightarrow \neg A\,.[/mm]
>
> >
> > Dann folgt der Widerspruch [mm]A \wedge \neg A\,[/mm]..."
> Das
> finde ich in der Tat suboptimal. Aber
>
> "Angenommen B. Bla bla bla, also [mm]\neg A[/mm], Widerspruch."
>
> halte ich durchaus für eine angemessene Formulierung eines
> Kontrapositions-Beweises als Widerspruchs-Beweis. Ich halte
> sie für übersichtlicher als
>
> "Wir zeigen anstatt [mm]A\Rightarrow B[/mm] die Aussage [mm]\neg B\Rightarrow \neg A[/mm].
> Lassen wir also die Voraussetzung [mm]A[/mm] wieder weg und nehmen
> stattdessen die Voraussetzung [mm]\neg B[/mm] an. Bla, bla, bla,
> also wie gewünscht [mm]\neg A[/mm]."
>
>
> > Hehe, ja, ich finde, an der Uni wird man da auch gelehrt,
> > Sachen zu
> > verschleiern. Man überlegt etc. ja alles auf dem
> > Schmierzettel und schreibt
> > dann hinterher einfach noch sein Ergebnis der
> > Überlegungen auf und
> > rechnet vor, dass es das tut. Das "Konstruktive" beim
> > Beweis wird meist
> > nicht präsentiert.
> Meiner Meinung nach kann es dafür auch gute Gründe geben.
> Es ist einfach leichter, einen fertigen Beweis Schritt für
> Schritt nachzuvollziehen als Überlegungen von
> verschiedenen Seiten, die sich dann irgendwie zu einem
> fertigen Beweis zusammenbasteln lassen.
>
> Daher halte ich es für eine gute Lösung, wenn allgemeine
> Beweise in Vorlesungen in fertiger Form präsentiert werden
> und wenn in konkreten Beispielen in Übungsgruppen eine
> Vorgehensweise zur Lösungsfindung präsentiert wird.
das ist auch eine interessante Ansicht. Ich hatte mir halt angewöhnt, beide
"Beweisbastelmethoden" zu lernen. Vielleicht ist sogar das beste wirklich,
beides zu machen: Selbst Beweise "konstruktiv" zu basteln und dann das
Ergebnis nachher so niederzuschreiben, dass jemand anderes dann den
Beweis nur noch nachvollziehen können muss. In der Schule wurde mir
übrigens gesagt - ob das stimmt, weiß ich nicht - dass gerade im
englischsprachigen Raum eigentlich Beweise immer "konstruktiv" gebastelt
werden, während es sonst vor allem in Deutschland üblich wäre, einen
"Ergebnis-Beweis" zu präsentieren. Aber in der englischsprachigen
Literatur, mit der ich bis dato arbeitete, ist mir das eigentlich nicht
aufgefallen. Im Gegenteil: Meist stehen da halt die Beweise in der Art und
Weise drin, wie sie auch meist an der Uni vorgeführt werden...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Entschuldigung aber das hat mich jetzt wieder verwirrt.
Ich habe ja f(...) =0. folgt daraus direkt, dass das in der Klammer 0 sein muss? da a1-an ja linear unabhängig sind weil sie die Basis darstellen von V müssen also [mm] $\lambda_{t+1},..., \lambda_n=0$ [/mm] ist das ein Beweis oder habe ich etwas übersehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Entschuldigung aber das hat mich jetzt wieder verwirrt.
Ich habe ja f(...) =0. folgt daraus direkt, dass das in der Klammer 0 sein muss? da a1-an ja linear unabhängig sind weil sie die Basis darstellen von V müssen also [mm] $\lambda_{t+1},..., \lambda_n=0$ [/mm] ist das ein Beweis oder habe ich etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, also ich roll das noch mal etwas anders auf.
Wir hatten ja [mm] $f(\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n)=0$ [/mm] und wollten daraus [mm] \lambda_{t+1}=...=\lambda_n=0 [/mm] folgern.
Wenn [mm] $f(\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n)=0$, [/mm] dann gilt natürlich [mm] $\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n\in [/mm] ker(f)$. Der Kern von f hat aber die Basis [mm] $a_1, [/mm] ..., [mm] a_t$. [/mm] Von daher kamen wir darauf, dass
$ [mm] \lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n=\lambda_1a_1+...+\lambda_ta_t [/mm] $
gelten muss. Nun schaffst du alles auf eine Seite:
[mm] -\lambda_1a_1-...-\lambda_ta_t+\lambda_{t+1}a_{t+1}+...+\lambda_na_n=0.
[/mm]
Und jetzt kannst du benutzen, dass [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] linear unabhängig sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Also mein "Beweis" ist nicht wirklich vollständig ja?
Man kann das also nicht direkt schlussfolgern so wie ich es gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja also die Idee ist richtig, aber für meinen Geschmack waren da zu wenig Zwischenschritte. Ich hab das nur etwas mehr ausformuliert, warum denn jetzt [mm] \lambda_{t+1}=...=\lambda_n [/mm] wirklich 0 sein sollen (d.h. in der Klammer schon 0 stehen muss).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke :) könnten Sie mir auch einen Ansatz zu der 2. Teilaufgabe geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Uff, es ist zwar sehr höflich, aber du brauchst mich nicht siezen. :) Da fühle ich mich gleich viel älter.
Ok, also du hast gezeigt, dass die [mm] $f(a_{t+1}),...,f(a_n)$ [/mm] schon mal linear unabhängig sind. Mit der nächsten Aufgabe folgt, dass sie sogar ein Erzeugendensystem von im(f) bilden. Das heißt, dass [mm] $f(a_{t+1}),...,f(a_n)$ [/mm] sogar eine Basis von im(f) bildet. Das nur so als Nebenbemerkung.
Dein Ziel ist jetzt folgendes: Du nimmst dir ein $w [mm] \in [/mm] im(f)$ und willst zeigen, dass du es mit den [mm] $f(a_{t+1}),...,f(a_n)$ [/mm] darstellen kannst, d.h. du suchst [mm] $\mu_{t+1},...,\mu_n$ [/mm] mit [mm] $\mu_{t+1}f(a_{t+1})+...+\mu_nf(a_n)=w$.
[/mm]
Bis jetzt weißt du nur folgendes: Weil [mm] $w\in [/mm] im(f)$, gibt es ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit $f(v)=w$. Nun hast du in v ja eine Basis. Stelle das v mal damit dar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok du meinst also
[mm] $v=\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n$
[/mm]
[mm] $f(\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n)=\mu_{t+1}f(a_{t+1})+...+\mu_nf(a_n) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, also v hat die Darstellung $ [mm] v=\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n [/mm] $. Dann gilt [mm] w=f(v)=\lambda_1f(a_1)+...+\lambda_nf(a_n) [/mm] erst einmal. Das ist ja schon fast die Form, die wir brauchen. Nur, dass noch [mm] f(a_1),...f(a_t) [/mm] zu viel da sind. Kannst du begründen, warum diese Dinger alle =0 sein müssen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Naja weil sie ja auf W als Nullvektoren abgebildet werden oder?
Sie sind ja [mm] $\in [/mm] Ker(f)$ oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ganz genau. Also gilt in Wirklichkeit schon [mm] w=\lambda_{t+1}f(a_{t+1})+...+\lambda_nf(a_n). [/mm] Und mehr brauchtest du ja nicht zeigen. Du musstest nur zeigen, dass sich jeder Vektor im Bild von f irgendwie aus den [mm] $f(a_{t+1}),...,f(a_n)$ [/mm] zusammenbauen lässt, was nun gezeigt wurde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 So 25.11.2012 | | Autor: | Duckx |
achso ok danke :) ich verstehe das jetzt ein wenig mehr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! Wenn es noch allgemeine Fragen zu dem Thema gibt, dann stell sie auch ruhig!
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