Beweis einer Mengenformel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:52 Mo 03.11.2008 | | Autor: | juuulchen |
1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
n=1,2,...
Finden sie eine Formel und begründen sie
a) unter verwendung von punktemustern
b) Formal (mit hilfe schon bekannter Formeln)
ich habe zwar eine formel gefunden
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-n)
[/mm]
die durch probieren funktioniert, aber beweisen kann ich sie nicht.
kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo juuulchen!
> 1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
> n=1,2,...
>
> Finden sie eine Formel und begründen sie
> a) unter verwendung von punktemustern
> b) Formal (mit hilfe schon bekannter Formeln)
>
> ich habe zwar eine formel gefunden
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-n)[/mm]
Ich glaube nicht, dass das mit Formel gemeint ist. Das ist ja nur eine andere Schreibweise für obiges. Du kennst doch aber sicher die Formel [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] für folgendes: [mm] $\sum\limits_{i=1}^n [/mm] i$. Und mit der kannst du auch obiges beweisen, wenn du eine Formel dafür gefunden hast. Was allerdings mit "Punktemustern" gemeint ist, weiß ich nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | juuulchen |
würde dann 2 [mm] \bruch{n}{2} [/mm] (n+1) - n als formel gelten?
das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem schlauch
aber danke schon ma für die antwort!
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würde dann 2 (n+1) - n als formel gelten?
das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem schlauch
aber danke schon ma für die antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julchen,
Frage vorneweg: Was hat denn das mit einer "Mengenformel" zu tun? Ich sehe höchstens eine Summenformel, die man suchen/finden sollte.
> würde dann 2 (n+1) - n als formel gelten?
> das wäre nähmlich das was mir dazu eingefallen ist. aber
> wie beweise ich das? da steh ich so ziemlich auf dem
> schlauch
es führen viele Wege zum Ziel (leider zu einem anderen als das, was Du behauptest; bzw. in Deiner Rückfrage-Mitteilung steht es noch richtig, aber oben hast Du ein [mm] $\black{n}$ [/mm] verschlampt). Naheliegend finde ich eigentlich folgendes:
Wir definieren mal folgendes:
[mm] $a_k:=k$ [/mm] und [mm] $b_k:=n-k$ [/mm] für alle [mm] $k=1,...,n\,.$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+\underbrace{b_n}_{=0}\,.$
[/mm]
Umsortieren liefert:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+b_n=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)\,.$
[/mm]
Nun gilt aber [mm] $a_k+b_k=n$ [/mm] für jedes $k=1,...,n$, so dass obiges liefert:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=a_1+...+a_n+b_1+...+b_{n-1}+b_n=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...+(a_n+b_n)=n*n=n^2\,.$
[/mm]
Vollkommen analog kann man auch $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1$ so schreiben:
[mm] \begin{array}{lllllllll}
=1& +2& +&.&.&.&+(n-1)&+n\\
+(n-1)& +(n-2)& +&.&.&.&+1&(+0)
\end{array}
[/mm]
und erkennt dann eigentlich sofort, dass diese Summe gerade [mm] $n*n=n^2$ [/mm] ist.
Genausoschön wäre es, zu behaupten:
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=n^2$ [/mm] gilt für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] und dann dafür einen Induktionsbeweis zu führen.
Zu guter Letzt: Mit [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n [/mm] k$ gilt
[mm] $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=s_n+s_n-n=2s_n-n\,.$
[/mm]
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) kleinen Gauß gilt [mm] $s_n=\frac{n}{2}(n+1)$, [/mm] also:
[mm] $$1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+1=s_n+s_n-n=2s_n-n=2*\frac{n}{2}(n+1)-n=n^2+n-n=n^2\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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