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Betragsungleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo!
Kann mir bitte jemand weiter helfen...

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4

... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine Lösungsmenge so?
Ist das richtig  $  [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \} [/mm] $ ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Betragsungleichung: Zum Teil richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:16 So 07.11.2004
Autor: Paulus

Hallo SilverSurfer

> Hallo!
>  Kann mir bitte jemand weiter helfen...
>  
> Habe folgende Aufgabe zu lösen:
>  
> 3|4x-1| > |2-5x|-3x+4
>  
> ... durch die Beträge sind jeweils 2 Fälle zu

[ok] Welche Fälle hast du denn?

Übrigens: wenn man es geschickt macht, sind es dann insgesamt nur 3 Fälle! ;-)

> unterscheiden. 2 ergeben eine leere Menge. Stimmt meine
> Lösungsmenge so?
>  Ist das richtig  [mm]\IL = \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}[/mm]
> ?

[notok] Nein, leider nicht! $0_$ zum Beispiel gehört auch zu deiner Lösungsmenge, erfüllt aber die Ungleichung nicht! Das ergibt ja:

$ 3|-1| > |2|+4_$

$3 > 6_$

was offensichtlich nicht stimmt.

Ich schlage vor, du zeigst einmal, wie dur auf die falsche Lösungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x\geq\frac{3}{5} \vee x < \frac{1}{4} \}$ [/mm]

anstelle der richtigen Läsungsmenge

[mm] $\IL [/mm] = [mm] \{x | x < -\frac{3}{4} \vee x > \frac{1}{2} \}$ [/mm]
gekommen bist. Dann finden wir deine Fehler bestimmt heraus. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
        
Bezug
Betragsungleichung: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 07.11.2004
Autor: SilverSurfer

Hallo Paulus!
Erstmal vielen Dank für die Antwort.

Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:

$ 3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4 $

Fall 1:   $ 4x-1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 1.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > 4-10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 8-13x $
            $ 25x > 11 $
            $ x > [mm] \bruch{11}{25} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.1} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 1.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ 12x-3 > -4+10x-3x+4 $
            $ 12x-3 > 7x $
            $ 5x > 3 $
            $ x > [mm] \bruch{3}{5} [/mm] $

            $ [mm] \IL_{1.2} [/mm] = [mm] \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $



Fall 2:   $ 4x-1 < 0 [mm] \gdw [/mm] x < [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $

       Fall 2.1   $ 2-5x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \le \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > 4-10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 8-13x $
            $ -12x+13x > 8-3 $
            $ x > 5 $

            $ [mm] \IL_{2.1} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $


       Fall 2.2   $ 2-5x < 0 [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ 3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4 $
            $ -12x+3 > -4+10x-3x+4 $
            $ -12x+3 > 7x $
            $ -19x > -3 $
            $ x < [mm] \bruch{3}{19} [/mm] $ (Vorzeichenumkehr)

            $ [mm] \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} [/mm] = [mm] \{ \} [/mm] $

$ [mm] \Rightarrow \IL [/mm] = [mm] \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} [/mm] = [mm] \{x | x > \bruch{3}{5} \} [/mm] $


MfG,
Sascha
Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung: perfekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Di 09.11.2004
Autor: Marc

Hallo SilverSurfer!

> Mein Lösungsansatz lautet wie folgt:
>  
> [mm]3|4x-1| > 2|2-5x|-3x+4[/mm]
>  
> Fall 1:  [mm]4x-1 \ge 0 \gdw x \ge \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 1.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]12x-3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>    
>           [mm]12x-3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]25x > 11[/mm]
>            
>  [mm]x > \bruch{11}{25}[/mm]
>  
> [mm]\IL_{1.1} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{11}{25} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 1.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]

Das ist ein bisschen unschön aufgeschrieben, also dass ein * ungeschützt auf ein - trifft, aber war wohl nur eine Nachlässigkeit (und irgendetwas muss ich zu meckern finden, sonst bin ich nicht zufrieden :-))

>              [mm]12x-3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]12x-3 > 7x[/mm]
>              [mm]5x > 3[/mm]
>              [mm]x > \bruch{3}{5}[/mm]
>  
>
> [mm]\IL_{1.2} = \{x | x \ge \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x > \bruch{3}{5} \} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok]

> Fall 2:  [mm]4x-1 < 0 \gdw x < \bruch{1}{4}[/mm]
>  
> Fall 2.1  [mm]2-5x \ge 0 \gdw x \le \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > 4-10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 8-13x[/mm]
>              [mm]-12x+13x > 8-3[/mm]
>    
>           [mm]x > 5[/mm]
>  
> [mm]\IL_{2.1} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x \le \bruch{2}{5} \wedge x > 5 \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> Fall 2.2  [mm]2-5x < 0 \gdw x > \bruch{2}{5}[/mm]
> (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]3 * -(4x-1) > 2 * -(2-5x)-3x+4[/mm]
>              [mm]-12x+3 > -4+10x-3x+4[/mm]
>  
>             [mm]-12x+3 > 7x[/mm]
>              [mm]-19x > -3[/mm]
>            
>   [mm]x < \bruch{3}{19}[/mm] (Vorzeichenumkehr)
>  
> [mm]\IL_{2.2} = \{x | x < \bruch{1}{4} \wedge x > \bruch{2}{5} \wedge x < \bruch{3}{19} \} = \{ \}[/mm]

[ok]

> [mm]\Rightarrow \IL = \IL_{1.1} \cup \IL_{1.2} \cup \IL_{2.1} \cup \IL_{2.2} = \{x | x > \bruch{3}{5} \}[/mm]

[ok], super!
Bis auf das "Mal-Minus-Problem" eine perfekte Lösung.

Die Lösungsmenge habe ich auch zusätzlich mit []FunkyPlot überprüft, und sie stimmt (selbst wenn ich bei der Korrektur also einen Fehler übersehen hätte).

Well done,
Marc
Bezug
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