Bestimmen einer komplexen Zahl < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kann mir jemand erklären, wie ich an folgende Aufgabe rangehen muss?
Bestimmen Sie alle [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]z^4 = -16[/mm].
Die Definition der komplexen Zahl kenne ich, nur weiß ich nicht, wie ich auf die konkrete Gleichung mit -16 komme.
Viele Grüße
Philipp
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Nun, normalerweise würdest du ja die Wurzel ziehen. Machen wir es langsam:
[mm] $\wurzel{z^4}=z^2=\pm \wurzel{-16}=\pm [/mm] 4i$
Nochmal die Wurzel: [mm] $z=\pm \wurzel{4i}= \pm 2\wurzel{i}$ [/mm] und [mm] $z=\pm \wurzel{-4i}= \pm 2\wurzel{-i}= \pm 2i\wurzel{i}$.
[/mm]
Wie du dir vielleicht in der komplexen Ebene klar machst, ist [mm] $\wurzel{i}=\bruch{1}{\wurzel{2}}+i\bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
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Danke erst einmal für Deine Antwort.
Ich verstehe aber nicht, warum Du die Wurzel aus [mm]z^4[/mm] ziehst. Und wieso ist [mm]z = \pm\wurzel{4i}[/mm]? (Ist [mm]4i[/mm] nicht [mm]1[/mm]?
:-?
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Nun, wie würdest du denn [mm] $z^4=+16$ [/mm] lösen? Speziell, wenn du die 4. Wurzel nicht kennst? Na? Einmal Wurzel ziehen, und dann nochmal!
Und 4i ist doch nicht 1. Wie kommst du darauf?
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Okay, ich war mit meinen Gedanken schon wieder bei einer ganz anderen Aufgabe; eigentlich soweit ganz logisch, nur ist [mm]\pm 4i[/mm] wirklich die entgültige Lösung, ich mein, darauf kann es doch keine 4 Punkte geben? Die Darstellung in der Ebene ist mir auch nicht ganz klar.
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Aloa erstmal,
In Algebra/Zahlentheorie hatten wir solche Auflösung von Polynomen unter dem Schlagwort "Zerfällungskörper".
Nach dem 'nativen' Verständnis müssen für [tex]z^4 = -16 [/tex] eben gerade 4 'Nullstellen' existieren.
Der Hinweis meines Vorredners war korrekt. Sowohl das Quadrat von [tex]+2i [/tex] als auch das von [tex] -2i [/tex] erfüllen die Eigenschaften.
Allerdings kannst du sowohl [tex]+2i [/tex] als auch [tex] -2i [/tex] nochmals 'aufspalten'. Dabei helfen dir die binomischen Formeln enorm weiter.
Für den Fall [tex] -2i [/tex] mal aufgeschlüsselt:
[tex] -2i = ( \wurzel{2} - \wurzel{2} i)^{2} = ( -\wurzel{2} + \wurzel{2} i)^{2}[/tex]
Offensichtlich sind also [tex]z_{1}=\wurzel{2} - \wurzel{2} i [/tex] und [tex]z_{2}=-\wurzel{2} + \wurzel{2} i [/tex]. (Probiere es aus und nimm die beiden Werte zur 4. Potenz!).
Wie werden denn nun die beiden noch fehlenden z-Werte aussehen?
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dich das voran bringt
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