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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Wir hatten in der Vorlesung folgendes Beispiel:
[mm] g_t =\bruch{1}{2t}1_{[-t,t]}
[/mm]
und daraus folgte dann:
[mm] f\* g_t(x)=\bruch{1}{2t}\integral_{x-t}^{x+t}{f(y)dy}
[/mm]
Und ich verstehe nicht so ganz, wie man darauf kommt. Nach Defintion hätte ich da stehen:
[mm] f\* g_t(x)=\integral{f(y)g_t(x-y)dy}
[/mm]
Mmh, und wieso steht da oben etwas anderes?
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Machen wir zunächst mal eine Vorüberlegung:
Es gilt:
[mm] $1_{[-t,t]}(x-y) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & , & \mbox{wenn} \quad -t \le x-y \le t,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array} \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccl} 1 & , & \mbox{wenn} \quad x-t \le y \le x+t,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array} \right\} [/mm] = [mm] 1_{[x-t,x+t]}(y)$.
[/mm]
Nun folgt:
[mm] $(f\*g_t)(x)$
[/mm]
$= [mm] \int\limits_{\IR} f(y)\, g_t(x-y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \int\limits_{\IR} [/mm] f(y) [mm] \cdot \frac{1}{2t} \cdot 1_{[-t,t]}(x-y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \frac{1}{2} \int\limits_{\IR} [/mm] f(y) [mm] \cdot 1_{[ x-t,x+t]}(y)\, [/mm] dy$
$= [mm] \frac{1}{2} \int\limits_{x-t}^{x+t} f(y)\, [/mm] dy$,
wie behauptet.
Jetzt alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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