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Basis für Untermodul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Mo 21.06.2004
Autor: Dana22

Finde eine Basis für den Untermodul M von [mm]\IZ^3[/mm], wobei M die Menge der ganzzahligen Lösungen des Gleichungssystem ist

x + 2y + 3z = 0
x + 4y + 9z = 0  .


So, und nun hab ich mir das so überlegt:

I      x+ 2y +3z = 0
II     x + 4y + 9z = 0

II - I 2y +6z = 0
        y = - 3z

in I x - 6z +3z = 0
      x = 3z = - y

Lösung für dieses Gleichungssystem:

z beliebig ( z Element von Z)
y = - 3z
x= 3z = - y


Und nun weiter????


        
Bezug
Basis für Untermodul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Di 22.06.2004
Autor: Julius

Liebe Dana!

Du hast doch schon (im Übrigen richtig!) herausgefunden, dass

$M = [mm] \left\{z \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{pmatrix}\, :\, z \in \IZ\right\}$ [/mm]

gilt.

Daher ist [mm] $\left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ [/mm] eine (einelementige) Basis, so einfach ist das. ;-)

Liebe Grüße
Julius



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