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Basen und Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 So 30.11.2003
Autor: AstridW

Hallo!
Ich habe gerade noch einmal ein problem bei meinen LA hausaufgaben. Könnt Ihr mr vielleicht noch mal helfen????
Also, es geht um Folgendes:

Es sei V:=K (2kreuz2) und 1+1ungleich 0 im Körper K und
(b1,b2,b3,b4):= ( (10), (11), (10), (01)  )
                          ( (01), (00), (10), (01)  )

Gibt es ein lineare Abbildung phi:V nach K (hoch 3) mit
phi(b1)=(1,1,0), phi(b2)=(0,1,0), phi(b3)=(0,0,0), phi(b4)=(0,0,1)?

Wenn ja, bestimme man für jedes solche phi
                        
                    phi( (a1,1  a1,2)  )
                         ( (a2,1  a2,2)  )              für a i,j element aus K.




Meine Idee war es jetzt zu überprüfen, ob ich irgendeine Abbilung finden kann für die das funktioniert, ber ein Vektor springt bei mir immer aus der Reihe, deshalb hätte ih jetzt eigentlich als Antwort nein gesagt, aber dann hätten die doch bestimmt nicht so weiter gefragt!?!
Vielen Dank schon mal
Astrid

        
Bezug
Basen und Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:11 Mo 01.12.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Ich habe gerade noch einmal ein problem bei meinen LA
> hausaufgaben. Könnt Ihr mr vielleicht noch mal helfen????

Klar, nur war es diesmal ziemlich knapp (und jetzt wahrscheinlich schon zu spät, oder?)

> Also, es geht um Folgendes:
>
> Es sei V:=K (2kreuz2) und 1+1ungleich 0 im Körper K und
> (b1,b2,b3,b4):= ( (10), (11), (10), (01)  )
>                           ( (01), (00), (10), (01)  )
>
> Gibt es ein lineare Abbildung phi:V nach K (hoch 3) mit
> phi(b1)=(1,1,0), phi(b2)=(0,1,0), phi(b3)=(0,0,0),
> phi(b4)=(0,0,1)?
>
> Wenn ja, bestimme man für jedes solche phi
>                          
>                     phi( (a1,1  a1,2)  )
>                          ( (a2,1  a2,2)  )              für a
> i,j element aus K.

Ich würde es so machen: Den Vektorraum [mm]V:=\IK^{2\times 2}[/mm] (der 2x2-Matrizen) würde ich als vierdimensionalen Vektorraum verstehen, d.h., eine Matrix schreibe ich einfach als Vektor mit vier Komponenten (das geht, es ist ja schließlich nur eine Schreibweise).

Die Abbildung [mm]\phi[/mm] ist -- als lineare Abbildung -- einfach eine 3x4 Matrix A:
[mm]A=\phi: \IK^4\mapsto \IK^3[/mm]

Die Einträge dieser Matrix (12 Stück) lassen sich einfach durch ein lineares Gleichungssystem bestimmen, welches man erhält, indem man die vier gegebenen Vektoren [mm]b_1,b_2,b_3,b_4[/mm] auf ihre gegebenen Bilder abbildet:

[mm]\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}[/mm]

[mm]\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm]

[mm]\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]

[mm]\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm]

Ich erhalte da folgendes LGS (sortiert nach Variablen):

a+d=1
a+c=0
a+b=0
c+d=0

e+h=1
e+g=1
e+f=0
g+h=0

i+l=0
i+k=0
i+j=0
k+l=0

Diese LGS kann man -- wie ja durch die Sortierung der Gleichungen bereits nahegelegt -- auch als 3 LGS auffassen, mit je 4 Gleichungen und 4 Variablen.

Meine Lösungen (ohne Gewähr natürlich ;-):

a=1/2, b=-1/2, c=-1/2, d=1/2

e=1, f=-1, g=0, h=0

i=-1/2, j=1/2,k=1/2,l=1/2

Damit ist die Matrix A eindeutig bestimmt, sie lautet

[mm]A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}[/mm]

Jetzt soll ja noch
[mm]\phi\left(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\right) [/mm] bestimmt werden; wegen der obigen Überlegungen ist hier aber einfach nur zu rechnen:
=[mm]A*\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} \end{pmatrix}[/mm]=...

Ich hoffe, das war auf die Schnelle einigermaßen verständlich und es erreicht dich noch rechtzeitig...

Alles Gute,
Marc

PS: Wenn du die Fragen früher stellst, erhälst du mit größerer W'keit noch eine rechtzeitige Antwort, aber ich kenne es ja von mir, dass ich immer zu spät anfange...


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