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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Ax=b (Eindeutig) lösbar?
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Ax=b (Eindeutig) lösbar?: Allgemeine Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:38 Sa 19.05.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1\\ 4 & -2 & 6 \\ 3 & 1 & 0}\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{9 \\ -4 \\ 9} [/mm]




Hallo,


Mir gehts hier jetzt um die Frage, wann ein Gleichungssystem (eindeutig) lösbar ist. Dazu gibt es ja folgenden Satz:


Sei A eine Matrix mit den Spaltenvektoren a1, a2,..., am.
1. Ax=b ist lösbar [mm] \gdw [/mm] b [mm] \in [/mm] span{a1, a2,..., am}

2. Ax=b ist eindeutig lösbar [mm] \gdw [/mm] b [mm] \in [/mm] span{a1, a2,..., am} und rgA=m


Ax=b ist also eindeutig lösbar, wenn die Vektoren aus A linear unabhängig sind und wenn sich der Vektor b als Linearkombination der Vektoren aus A darstellen lässt.

Nehmen wir als Beispiel die obige Aufgabe (Das System ist übrigens eindeutig lösbar).
Nach dem obigen Satz müssten die Vektoren aus A linear unabhängig sein (sind sie), und der Vektor [mm] \vektor{9 \\ -4 \\ 9} [/mm] müsste sich als Linearkombination der Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}, \vektor{4 \\ -2 \\ 6} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 0} [/mm] darstellen lassen.

Wie aber prüfe ich ob letzteres gilt? Wie kann man das nachprüfen?
Wie prüfe ich, ob der Vektor b sich als Linearkombination von der Vektoren aus A darstellen lässt? (Um somit letzendlich gleichzeitig zu prüfen, ob das System eindeutig lösbar ist)

        
Bezug
Ax=b (Eindeutig) lösbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Sa 19.05.2012
Autor: barsch

Hallo,


>  Nach dem obigen Satz müssten die Vektoren aus A linear
> unabhängig sein (sind sie), und der Vektor [mm]\vektor{9 \\ -4 \\ 9}[/mm]
> müsste sich als Linearkombination der Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, \vektor{4 \\ -2 \\ 6}[/mm]
> und [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 0}[/mm] darstellen lassen.
>  
> Wie aber prüfe ich ob letzteres gilt? Wie kann man das
> nachprüfen?

du kannst hier auch über einen Satz argumentieren (den ihr bestimmt schon hattet). Übertragen auf [mm]\IR^3[/mm] lautet dieser in etwa so: Drei linear unabhängige Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] bilden eine Basis (des [mm]\IR^3[/mm]). Dass in deinem Fall die 3 Vektoren linear unabhängig sind, hast du bereits gezeigt (wie ich deinem Beitrag entnehme). Eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] hat eben die Eigenschaft, dass sich damit alle Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] als Linearkombination darstellen lassen und somit insbesondere der Vektor [mm]b\in\IR^3[/mm].

>  Wie prüfe ich, ob der Vektor b sich als Linearkombination
> von der Vektoren aus A darstellen lässt? (Um somit
> letzendlich gleichzeitig zu prüfen, ob das System
> eindeutig lösbar ist)


Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Ax=b (Eindeutig) lösbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Sa 19.05.2012
Autor: Jack159

Hallo barsch,


Ja die von dir genannte Sache hatten wir bereits besprochen. Habe es nun verstanden.

Danke für deine Antwort ;)

Bezug
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