Automorphismus und GF(2)Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kann mir jemand die Begriffe GF(2) - Körper genauer erklären, unser Prof konnte das nicht genau vermitteln, er meinte nur dass das die null und die eins drin wären und das ein Körper wäre.
Und was genau ist ein Automorphismus und für was braucht man den?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.emath.de/Mathe-Board/
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Hallo,
GF steht für Galois Feld und das ist widerum ein endlicher Körper mit Primzahlcharakteristik. GF(2) enthält genau 2 Elemente, nämlich 0 und 1. GF(2) ist isomorph zum Restklassenkörper [mm] \IF_{2}. [/mm] Das heißt also man rechnet in den ganzen Zahlen mit mod(2), also (1+1=0). Jetzt müssen hier alle Körperaxiome gelten. Am interessantesten ist die Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation und Addition. Dazu stellt man sog. Additions- und Multiplikationstabellen auf:
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und 1+1=0
0*0=0, 0*1=0, 1*0=0 und 1*1=1
Die anderen Axiome können auch nachgewiesen werden. Erklären kannst du dir das mit der 0 und der 1 auch so: Jedes Element eines Galois Felds GF(n) läßt sich als Nullstelle der Gleichung [mm] x^{n}-x=0 [/mm] darstellen, d.h. jedes Element ist eine Potenz einer primitiven (n-1)-ten Einheitswurzel. Dies ist eben bei n=2 nur für 0,1 erfüllt.
Achtung: Man kann auch endliche Körper [mm] \IF_{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] definieren, spricht dann aber nicht mehr vom Galois Feld.
Ich hoffe, das war einigenmaßen verständlich, ansonsten frage noch mal nach.
Ein Automorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus von einer Gruppe G auf sich. Homorphismus: Seien [mm] (G,\circ),(H,*) [/mm] Gruppen, dann heißt eine Abbildung [mm]f:G\to H[/mm] Gruppenhomorphismus, wenn f relationstreu ist, d.h. [mm]f(a\circ b)=f(a)*f(b)[/mm]. Dann lässt sich daraus die Automorphismengruppe [mm] Aut(G):=\{f|f:G\to G\} [/mm] definieren. Es gibt auch noch innere Automorphismen, die sogar einen Normalteiler von Aut(G) bilden. Die Definition musst du aber ![[]](/images/popup.gif) nachlesen. Weitere Anwendung finden die Automorphismen beim Homomorphiesatz. Du kannst damit zwar keine Häuser bauen, aber den Begriff sollte man sich schon einprägen, im Hinblick auf die Klausur sowieso  !
Beispiele gibt's hier!
Viele Grüße
Daniel
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