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Approximation von Eigenvektore: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Mo 16.06.2008
Autor: mathmetzsch

Aufgabe
Sei A eine komplexe nxn-Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n}. [/mm] Außerdem gelte [mm] |\lambda_{1}|>|\lambda_{j}|. [/mm] Zeige, dass für "fast alle" Vektoren [mm] x\in\IC^{n} [/mm] die durch [mm] x_{k}=\lambda_{1}^{-k}A^{k}x [/mm] gegebene Folge gegen einen Eigenvektor y konvergiert, und beschreibe unter welchen Bedingungen dies genau der Fall ist.  

Hallo Leute,

ihr lest das Problem. Hat jemand eine Idee wie man da herangehen könnte. Ich probiere mich jetzt schon geraume Zeit daran und komme auf nichts Brauchbares. Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Grüße
Daniel

        
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Approximation von Eigenvektore: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mo 16.06.2008
Autor: fred97

Da A n verschiedene Eigenwerte besitzt, existiert eine Basis b1, ..., bn des [mm] C^n, [/mm]
wobei  bj Eigenvektor zum Eigenwert lambdaj ist.

Sei x in [mm] C^n. [/mm] Stelle x als Linearkombination diser Eigenvektoren dar und betrachte dann die mit diesem x gebildete Folge xk.

Du wirst sehen: diese Folge konvergiert. Du kannst dann auch ablesen, wann diese Folge gegen einen Eigenvektor konvergiert.


FRED

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Approximation von Eigenvektore: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Di 17.06.2008
Autor: mathmetzsch

Hallo Fred,

wie sieht denn diese Linearkombination aus. Hätte jetzt diese Idee:

[mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}. [/mm]

Wenn ich die Summe dann etwas umschreibe, kann ich da sehr schnell was ablesen, aber ist die LK so richtig?

Grüße, Daniel

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Approximation von Eigenvektore: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Di 17.06.2008
Autor: fred97

Wenn Du mit vi die obigen Basisvektoren meinst (von denen ich sprach), so mußt Du die rechte Seite von

$ [mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}. [/mm] $

noch durch lambda1 dividieren, dann erhälst Du die Folge xk aus der Aufgabe.

Was passiert jetzt für k gegen unendlich ?

FRED

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Approximation von Eigenvektore: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:21 Di 17.06.2008
Autor: mathmetzsch

Na ja, diese Umformung ist sicherlich erlaubt:

[mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}=\lambda_{1}^{k}(\alpha_{1}v_{1}+\summe_{i=2}^{n}\alpha_{i}v_{i}\bruch{\lambda_{i}^{k}}{\lambda_{1}^{k}}). [/mm] Für k gegen Unendlich konvergiert das gegen den Nullvektor, da [mm] \bruch{\lambda_{i}^{k}}{\lambda_{1}^{k}} [/mm] eine geometrische Folge ist.

Ist also der Startvektor [mm] x_{0} [/mm] allgemein gewählt [mm] (\alpha_{1}\not=0), [/mm] so konvergieren die Vektoren [mm] \bruch{x_{k}}{\lambda_{1}^{k}} [/mm] gegen  [mm] \alpha_{1}v_{1}, [/mm] also bis auf Normierung gegen den Eigenvektor [mm] v_{1}. [/mm]

Stimmt das so? Danke! Grüße, Daniel

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Approximation von Eigenvektore: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Di 17.06.2008
Autor: fred97

So in etwa. Beachte aber, dass Dein xk nicht das aus der Aufganenstellung ist.

FRED

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