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Affine Abbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:09 Mi 09.05.2012
Autor: Sonnenblume2401

Aufgabe
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] eine affine Abbildung, die durch das Gleichungssystem [mm] $\left\{ \begin{array}{l} x'=a_1x+b_1y+c_1\\ y'=a_2x+b_2y+c_2 \end{array}\right.$ [/mm] mit [mm] $a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2\in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $a_1b_2-a_2b_1=\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }\neq0$ [/mm] beschrieben ist. Gegeben sei eine Figur F. Sei [mm] $F'=\alpha(F)$. [/mm]
Zu zeigen ist, dass die Reihenfolge der Eckpunkte von $F'$ gleich der Reihenfolge der Eckpunkte von $F$ ist, nur wenn [mm] $\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }>0$ [/mm] gilt. Weiters ist zu zeigen, dass die Reihenfolge der Eckpunkte von F' verschieden von der Reihenfolge der Eckpunkte von F ist, nur wenn [mm] $\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }<0$ [/mm] gilt.

Hallo an alle!

Habe leider keine Ahnung welche Bedingung oder welche "Formel" die Reihenfolge der Eckpunkte ausdrùckt.

Ich habe mal die Punkte O(0,0), [mm] $E_1(1,0)$ [/mm] und [mm] $E_2(0,1)$ [/mm] hergenommen. Daher [mm] $\alpha(O)=O'(c_1,c_2)$, $\alpha(E_1)=E_1'(a_1+c_1,a_2+c_2)$ [/mm] und [mm] $\alpha(E_2)=E_2'(b_1+c_1,b_2+c_2)$. [/mm] Sei T das Dreieck mit Eckpunkten O, [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] und sei T' das Dreieck mit Eckpunkten O', [mm] $E_1'$ [/mm] und [mm] $E_2'$. [/mm] Ich habe, dass die Flàche von T, [mm] $A(T)=\frac{1}{2}$ [/mm] und jene von T', [mm] $A(T')=\frac{1}{2}|\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }|$ [/mm] ist. Daher, [mm] $\frac{A(T')}{A(T)}=|\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }|$. [/mm]

Kann mir das irgendwie weiterhelfen? Wie gesagt das ist mein einziger Anhaltspunkt.

Danke an alle die mir weiterhelfen.

        
Bezug
Affine Abbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Do 17.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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