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Hallo!
In letzter Zeit klappt es bei mir mit dem Denken nicht mehr so, weshalb ich jetzt eure Hilfe brauche.
Es sind zwei windschiefe Geraden gegeben h: x = (2/3/6) + a(1/-1/2) g: x= (6/0/6) + b(2/4/-2)
Es soll der geringste Abstand zwischen den Geraden berechnet werden.
Zuerst habe ich mich an eine umständliche Lösungsmethode gemacht:
1. Berechnung des Kreuzproduktes der beiden Richtungsvektoren:
(1/-1/2) x (2/4/-2) = (-6/6/6)
2. Erstelle damit dann zwei Ebenengleichungen (Normalenform), die Parallel zueinander sind und auf denen jeweils die Gerade h und g liegt.
Ebene (H): x(-6/6/6) = 42 und (G): x(-6/6/6) = 0 (die Gleichung ist mir suspekt...)
3. Jetzt wollte ich einfach eine Gerade durch die beiden Ebenen ziehen, die die Richtung des Normalenvektors hat; als Stützvektor setzte ich dann einfach (6/0/6) aus Gleichung g ein.
Für diese Gerade gilt: f: x = (6/0/6) + b(-6/6/6)
4. Nun in die Ebene G einsetzten, um Schnittpunkt zu ermitteln:
(-36/0/36) + b(36/36/36) =0 So, und jetzt kommt mein Problem:
Ich kann doch jetzt drei gleichungen aufstellen (oder?)
-36 + 36b = 0
0 + 36b = 0
36 + 36b = 0 Wie man sieht, ist b nicht ermittelbar.
Anscheinend darf man dieses Gleichungssystem nicht aufstellen, aber wieso? Es wäre nett, wenn ihr mir eine Antwort geben könntet.
Nach einigem Grübeln bin ich dann auf eine andere Lösungsmöglichkeit des Problems gekommen: Hessische Normalenform
Dazu brauch ich ja nur eine Ebene und einen Punkt auf der gegenüberliegenden Geraden, in diesem Fall wären das die Stützvektoren auf jeweiligen Geraden. Richtig?
Ich bedanke mich schon mal für eure Mühe!
THX! Peace & Pleasure
Vitaminless
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Vitaminless,
willkommen im MatheRaum  !
> Es sind zwei windschiefe Geraden gegeben h: x = (2/3/6) +
> a(1/-1/2) g: x= (6/0/6) + b(2/4/-2)
>
> Es soll der geringste Abstand zwischen den Geraden
> berechnet werden.
>
> Zuerst habe ich mich an eine umständliche Lösungsmethode
> gemacht:
>
> 1. Berechnung des Kreuzproduktes der beiden
> Richtungsvektoren:
> (1/-1/2) x (2/4/-2) = (-6/6/6)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Erstelle damit dann zwei Ebenengleichungen
> (Normalenform), die Parallel zueinander sind und auf denen
> jeweils die Gerade h und g liegt.
>
> Ebene (H): x(-6/6/6) = 42 und (G): x(-6/6/6) = 0 (die
> Gleichung ist mir suspekt...)
, kann keinen Fehler entdecken, denn die jeweiligen Stützvektoren liegen in den Ebenen:
Stützvektor von g: (6|0|6), einsetzen in G: (6|0|6)*(-6/6/6)=0
Stützvektor von h: (2|3|6), einsetzen in H: (2|3|6)*(-6/6/6)=-12+18+36=42
> 3. Jetzt wollte ich einfach eine Gerade durch die beiden
> Ebenen ziehen, die die Richtung des Normalenvektors hat;
> als Stützvektor setzte ich dann einfach (6/0/6) aus
> Gleichung g ein.
>
> Für diese Gerade gilt: f: x = (6/0/6) + b(-6/6/6)
> 4. Nun in die Ebene G einsetzten, um Schnittpunkt zu
> ermitteln:
Müßtest du hier nicht die Ebene H nehmen, weil du doch den Stützvektor von g genommen hast und den Schnittpunkt mit der anderen Ebene (also H) berechnen willst?
> (-36/0/36) + b(36/36/36) =0 So, und jetzt kommt mein
> Problem:
> Ich kann doch jetzt drei gleichungen aufstellen (oder?)
Nein, denn wenn du die Gerade f in eine Normalenform einsetzt, erhälst du keine Vektorgleichung; du hast also die Vektoren falsch multipliziert, du müßtest nämlich das Skalarprodukt anwenden:
[mm] $\vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}$
[/mm]
einsetzen in [mm] $\vec x\*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}=0$ [/mm] (hier müßtest du nach meiner obigen Bemerkung eigentlich H nehmen)
liefert:
[mm] $\left[ \begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix} \right]\*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \begin{pmatrix}6\\0\\6\end{pmatrix}\*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}\*\begin{pmatrix}-6\\6\\6\end{pmatrix}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] (-36+36)+b*(36+36+36)=0$
usw. (überraschenderweise kommt b=0 raus  )
> -36 + 36b = 0
> 0 + 36b = 0
> 36 + 36b = 0 Wie man sieht, ist b nicht ermittelbar.
>
> Anscheinend darf man dieses Gleichungssystem nicht
> aufstellen, aber wieso? Es wäre nett, wenn ihr mir eine
> Antwort geben könntet.
Ich hoffe, das ist aus dem Obigen klar geworden.
Du hast oben ein Mischform aus Vektorprodukt und Skalarprodukt angewendet, die es aber leider nicht gibt
> Nach einigem Grübeln bin ich dann auf eine andere
> Lösungsmöglichkeit des Problems gekommen: Hessische
> Normalenform
> Dazu brauch ich ja nur eine Ebene und einen Punkt auf der
> gegenüberliegenden Geraden, in diesem Fall wären das die
> Stützvektoren auf jeweiligen Geraden. Richtig?
Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, eine stelle dir noch vor, weil ich sie für noch einfacher halte:
1. Bastle eine Hilfsebene E in Normalenform, die senkrecht zur Geraden g verläuft (einfach Richtungsvektor von g als Normalenvektor nehmen und Stützvektor von g als Aufpunkt).
2. Nun kann diese Ebene H mit der anderen Gerade h geschnitten werden, Schnittpunkt L
3. Der Abstand L zum Aufpunkt von g ist der gesuchte Abstand.
Korrektur:
Ohne einen Vektor, der senkrecht zu beiden Geraden steht, geht es wohl nicht
Seien $g: [mm] \vec x=\vec a+s*\vec [/mm] u$, $h: [mm] \vec x=\vec b+t*\vec [/mm] v$ die beiden (windschiefen) Geraden
1. Berechne einen Vektor [mm] $\vec [/mm] n$, der senkrecht auf beiden Geraden steht.
2. Bilde die erste Hilfsebene [mm] E_1 [/mm] in Parameterform: [mm] $E_1: \vec x=\vec a+\lambda*\vec u+\mu*\vec [/mm] n$
(In dieser Ebene liegt die Gerade g)
3. Berechne den Schnittpunkt [mm] $L_h$ [/mm] von [mm] $E_1$ [/mm] mit $h$: [mm] $L_h=E_1\cap [/mm] h$
4. (s. 1. Version) Bastle eine Hilfsebene [mm] E_2 [/mm] in Normalenform, die senkrecht zur Geraden h verläuft: [mm] $E_2: (\vec x-\vec{0L_h})*\vec [/mm] v=0$
2. Nun kann diese Ebene [mm] E_2 [/mm] mit der anderen Gerade g geschnitten werden, Schnittpunkt [mm] $L_g$
[/mm]
3. Der Abstand der Punkte [mm] L_h [/mm] und [mm] L_g [/mm] ist der gesuchte Abstand.
Dieser Weg ist einfacher, weil er keine umständliche Berechnung eines Normalenvektors beinhaltet.
Viele Grüße,
Marc
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Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich kann deine Lösungsmethode nicht ganz nachvollziehen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, eine stelle dir
> noch vor, weil ich sie für noch einfacher halte:
>
> 1. Bastle eine Hilfsebene E in Normalenform, die senkrecht
> zur Geraden g verläuft (einfach Richtungsvektor von g als
> Normalenvektor nehmen und Stützvektor von g als
> Aufpunkt).
Es ist ja der kürzeste Abstand von g zu h gesucht. Wenn ich jetzt den Stützvektor von g nehme, sprich [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
und dadurch eine Ebene ziehe, die senkrecht zu der Gerade g ist, und h schneidet, so ist doch noch immer nicht bewiesen, dass der Abstand zwischen dem Schnittpunkt von h und dem Stützvektor von g [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}, [/mm] der geringste Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden ist, oder.
> 2. Nun kann diese Ebene H mit der anderen Gerade h
> geschnitten werden, Schnittpunkt L
> 3. Der Abstand L zum Aufpunkt von g ist der gesuchte
> Abstand.
Ein Abstand ist das schon, aber nicht der geringste....
Ich habe jetzt mal beide Lösungswege (deinen und meinen) gerechnet und habe festgestellt, dass man durch die Hessesche Normalenform auf einen geringeren Abstand kommt. Natürlich kann ich mich verechnet haben....
Abstand bei deiner Lösung: 4,1...
Abstand bei meiner Lösung: 4,0....
Und weil ich schon beim Thema bin, habe ich noch eine Frage. Wie berechnet man die Gerade zwischen zwei windschiefen Geraden, die durch die Punkte der Geraden h und g geht, die den geringsten Abstand haben.
Mein Lösungsweg wäre zu lang.
1. Man weiß ja, wie man einen Verbindungsvektor berechnet. x = OQ - OP
x = g-h (eine Gerade minus der anderen; die Geraden sind ja letztlich auch Punkte),
Der Verbindungsvektor muss auf beiden Geraden senkrecht stehen, weshalb gilt:
(g-h) mal Richtungsvektor von g = 0 und (g-h) mal Richtungsvektor von h = 0
Dann kann man sich erst mal durch ein dummes Gleichungssystem hängeln und a und berechnen. Anschließend erhält man durch Einsetzen die Schnittpunkte und kann dann die Gerade berechnen.
Ich finde, der Weg ist zu lange... gibt es vielleicht einen kürzeren?
Danke!
PS: Irgendwie klappt das bei mir mit den Vektorpfeilen nicht. Wenn ich den Befehl eingebe kommt es zu einem riesigen Zeilenumbruch in der Vorschau.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Vitaminless
herzliche Gratulation!!
Du hast bewiesen, dass du die Lösungsideen wirklich kritisch durchliest und nicht einfach glaubst, was dir von uns renommierten Mathematikern so aufgetischt wird! Super!
Die "Lösung" von Marc funktioniert tatsächlich nicht!
Du kannst dir das klarmachen, wenn du mal mit Bleistift und Tischplatte arbeitest: du stellst den Bleistift senkrecht auf deine Tischplatte und stellst dir vor, dein Bleistift sei die Gerade g. Dann ist die Tischplatte die von Marc vorgeschlagene Ebene E (oder H ), und der Berührungspunkt des Bleistifts mit der Tischplatte ist der Stützpunkt. Jetzt kannst du dir noch eine weitere Gerade vorstellen, die ca. auf einer Höhe von 10 cm durch den Bleistift geht und die Tischplatte zum Beispiel im Abstand von 30 cm durchdringt (Marcs Punkt L). Die Gerade h hat von deinem Bleistift den Abstand $0$ (sie geht ja durch den Bleistift), aber der Punkt L hat mit dem Stützpunkt des Bleistift einen Abstand von 30 cm!
>
> Und weil ich schon beim Thema bin, habe ich noch eine
> Frage. Wie berechnet man die Gerade zwischen zwei
> windschiefen Geraden, die durch die Punkte der Geraden h
> und g geht, die den geringsten Abstand haben.
>
> Mein Lösungsweg wäre zu lang.
Ich will dir mal einen nochmals anderen Weg zeigen, damit deine Verwirrung noch kompletter wird
Ich bleibe dabei bei deinem Beispiel der zwei windschiefen Geraden:
Die Ueberlegung ist Folgende:
die Koordinaten von $g$ sind die Folgenden: [mm] $(6+2b,\,4b,\,6-2b)$
[/mm]
und jene von $h$ diese: [mm] $(2+a,\,3+a,\,6+2a)$
[/mm]
Wenn du für $g$ den Parameter $b$ variierst, so "siehst" du einen Punkt (nennen wir ihn $P$) auf der Geraden $g$ wandern, ebenso, wenn du $a$ variierst: ein Punkt (sagen wir $Q$) wandert auf der Geraden $h$.
Jetzt kannst du den Abstand, oder noch Einfacher, das Quadrat des Abstandes dieser beiden Punkte berechnen:
[mm]\mid PQ \mid^{2} = ((6+2b)-(2+a))^{2}+((4b)-(3+a))^{2}+((6-2b)-(6+2a))^{2}= (4-a+2b)^{2}+(-3+a+4b)^{2}+(2a-2b)^{2}[/mm]
Von dieser Funktion musst du nur noch das Minimum berechnen:
Nach $a$ ableiten und $0$ setzen --> 1. Gleichung
Nach $b$ ableiten und $0$ setzen --> 2. Gleichung
Diese Gleichungen löst du nach $a$ und $b$ auf.
Diese Methode hat den "Vorteil", dass du die Parameter jetzt kennst. Du weisst also, wo sich die Punkte $P$ und $Q$ befinden, wenn ihr Abstand minimal ist. Du kannst somit das soeben berechnete $a$ resp. $b$ in den Parametergleichungen der Geraden einsetzen und bist schon am richtigen Ort. Somit ist dann die Verbindungsgerade auch einfach die Verbindung dieser beidn richtigen Orte.
Uebrigens, du brauchst die obigen Quadrate nicht mehr weiter auszumultiplizieren, um die Ableitung zu bilden. Es gilt ja bekanntlich: "innere Ableitung mal äussere Ableitung"
Als Beispiel dazu mal die Ableitung nach $a$:
[mm][(4-a+2b)^{2}+( -3+a+4b)^{2}+(2a-2b)^{2}]' = 2*(4-a+2b)*(-1)+2*(-3+a+4b)*1+2*(2a-2b)*2
=12a-4b-14[/mm]
Vielleicht arbeitest du daran mal ein Wenig? (Aber bitte kritisch, auch ich bin ein renommierter Mathematiker! )
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Die "Lösung" von Marc funktioniert tatsächlich nicht!
na gut, Ihr habt mich überzeugt
Habe mein Verfahren korrigiert (siehe meine erste Antwort), es ist tatsächlich ein bisschen komplizierter geworden.
Sorry für die Verwirrung,
Marc
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