Abstand/schnittpunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Do 26.07.2007 | | Autor: | der_puma |
hi,
| Aufgabe 1 | gegeben sind die punkte A(5/2/-1), B(3/6/3) C(-1/2/5) und D(1/-2/1) die zusammen mit der spitze S (6/0/6) eine pyramide bilden.
welcher punkt hat von A,B,C,D,S den gleichen abstand??? |
irgendwie brauch ich den puntk für den umkreis, also mittelsenkrechten oder ???? wie ist das im drie dimensionalen? wie muss ich da verfahren?
| Aufgabe 2 | gegeben ist die geradenschar g:X=((6-2a)/(2a)/6-a)+t(2/1/-2) und die ebne E=(3/2/3)x-24=0
welche der geradenscharen schneidet die ebene in der y-z -ebene? |
zum verständnis : es wird also ein schnittpunkt gesucht bei dem die x-koordinate null ist oder ?????
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 26.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
zu Aufgabe 2.
Du hast schon richtig erkannt, dass die x-Koordiante deines Gesuchten Punktes =0 ist.
Schreiben wir die Geradengleichung doch mal hin:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{6-2a\\2a\\6-a}+\lambda\vektor{2\\1\\-2}=\vektor{6-2a+2\lambda\\2a+\lambda\\6-a-2\lambda}
[/mm]
Jetzt wisst du, dass die x-Koordinate =0 ist.
Also:
[mm] 6-2a+2\lambda=0\Rightarrow\lambda=a-3
[/mm]
Jetzt kann ich die Gerade in die Ebene einsetzen:
[mm] E:\vektor{3\\2\\3}*\vec{x}=24
[/mm]
Jetzt die Gerade eingesetzt:
[mm] \vektor{3\\2\\3}*\vektor{6-2a+2\lambda\\2a+\lambda\\6-a-2\lambda}=24
[/mm]
Da mal die Bedingung für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] \vektor{3\\2\\3}*\vektor{6-2a+2(a-3)\\2a+a-3\\6-a-(a-3)}=24
[/mm]
Nun das Skalarprodukt auflösen:
3*0+2(3a-3)+3(-2a+9)=24
Daraus kannst du jetzt dein a bestimmen
Marius
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Hallo der_puma!
> hi,
> 1.gegeben sind die punkte A(5/2/-1), B(3/6/3) C(-1/2/5)
> und D(1/-2/1) die zusammen mit der spitze S (6/0/6) eine
> pyramide bilden.
> welcher punkt hat von A,B,C,D,S den gleichen absatnd???
Ich würde einfach die Ebene durch A,B,C,D berechnen und den Abstand bzw. einen Abstandsvektor von dieser Ebene zu S berechnen. Und diesen Vektor kannst du dann einfach auf die andere Seite der Ebene addieren, oder subtrahieren, je nachdem, in welche Richtung du ihn richtest, und dann hast du den gesuchten Punkt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 So 29.07.2007 | | Autor: | der_puma |
hi,
ich seh jetzt nicht wie mir das hilft...
also eben kriege ich dann
E:1/3 x(2/-1/2)-2=0
und die hilfsbene durch S ist dann H:....-8=0
der abstand der ebnen ist dann 6Le aber wie komme ich jetzt auf den gesuchten punkt???
gruß
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Hallo der_puma!
Bei der Grundfläche der Pyramide scheint es sich um ein Quadrat zu handeln (nachweisen!). Damit liegt der gesuchte Punkt auf der Geraden durch den Mittelpunkt $M_$ des Quadrates mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.
Um nun den Abstand $x_$ des gesuchten Punktes von der ermittelten Ebene zu erhalten, verwenden wir den Satz des Pythagoras:
[mm] $\overline{AM}^2+x^2 [/mm] \ = \ [mm] \text{Hypotenuse}^2 [/mm] \ = \ [mm] (6-x)^2$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> hi,
>
> gegeben sind die punkte A(5/2/-1), B(3/6/3) C(-1/2/5) und
> D(1/-2/1) die zusammen mit der spitze S (6/0/6) eine
> pyramide bilden.
> welcher punkt hat von A,B,C,D,S den gleichen abstand???
>
> irgendwie brauch ich den puntk für den umkreis, also
> mittelsenkrechten oder ???? wie ist das im drie
> dimensionalen? wie muss ich da verfahren?
Umkreis und Mittelsenkrechte sind durchaus brauchbare Stichworte: Der geometrische Ort aller Punkte, die von $A,B$ und $C$ denselben Abstand haben, ist die zur Ebene $ABC$ senkrechte Gerade $m$ die durch den Umkreismittelpunkt von [mm] $\Delta [/mm] ABC$ geht.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von $S$ und $D$ denselben Abstand haben, ist die zur Strecke $DS$ mittelsenkrechte Ebene [mm] $\Sigma$.
[/mm]
Der gesuchte Punkt muss somit der Schnittpunkt von $m$ und [mm] $\Sigma$ [/mm] sein (sofern es einen solchen Punkt überhaupt gibt, was nicht sicher ist).
Ob dieser Punkt $P := [mm] m\cap \Sigma$ [/mm] aber tatsächlich von allen Punkten $A,B,C,D, S$ denselben Abstand hat, müsste man separat prüfen (ist in jedem Falle erfüllt, falls $ABCD$ ein Rechteck ist: denn dann haben die Punkte auf $m$ nicht nur von $A,BC$ und $C$ sondern auch von $D$ gleichen Abstand).
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