Ableitungen (cos/sin) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 08.12.2004 | | Autor: | DerD |
Hallo zusammen,
ich habe vier Frage zum Thema Ableitungen.
1)
Wenn ich
f(x)= cos 7x habe, wie entscheide ich was die äußere und innere Funktion zum Ableiten ist, brauche ich es bei der Funktion überhaupt?
ich würde das so machen:
f(x)= cos 7x
f´(x)= -sin 7x
(weil doch eigentlich cos 7x genauso behandelt werden müsste wie cos (1)x oder?)
2)
Es soll g(x)= 2sin x abgeleitet werden:
hier muss doch mit Produktregel abgeleitet werden- wenn ich mich nicht täusche... -.-
demzufolge => g´(x) = sin x + 2*cos x
stimmt das?
3)
h(x) = 5x cos x
hier wieder mit Produktregel, was heißen würde:
h´(x) = 5 * cosx + 5x *(-sin x)
und zuletzt
4)
k(x) = (sin x)³ cos x
k´(x) = [3 * sin x + (cos x)³] * (-sin x)
hier habe ich (sin x)³ per Produktregel abgeleitet und cos x "normal", müsste doch so gehen oder?
Allgemein hab ich das mit dem vereinfachen nicht so ganz drauf, weshalb ich dankbar wäre, wenn man mich auf mögliche Vereinfachungen aufmerksam machen würde! Danke!
Ich gehe mal davon aus das ich soweit alles richtig habe, aber meine 2Punkte in Mathe sprechen dagegen :(
Bin also über jede Hilfe sehr dankbar!
Achja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
DerD
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
Hi!
> 1)
> Wenn ich
> f(x)= cos 7x habe, wie entscheide ich was die äußere und
> innere Funktion zum Ableiten ist, brauche ich es bei der
> Funktion überhaupt?
>
die äußere Funktion ist diejenige, die allgemein naja, "außen" steht, in diesem Falle cos x, die Ableitung davon ist dann -sinx
die innere Funktion ist diejenige, die für die Variable x eingesetz wurde, also 7x, und die innere Ableitung wäre 7
> ich würde das so machen:
> f(x)= cos 7x
> f´(x)= -sin 7x
> (weil doch eigentlich cos 7x genauso behandelt werden
> müsste wie cos (1)x oder?)
Hier hast du vergessen, es mit der inneren Ableitung zu multiplizieren. f(x) = u(v(x)); f'(x)=u`(v(x))*v'(x)
also f´(x)= -7sin 7x
cosx wird zu -sinx abgeleitet, da die innere ableitung 1 ist, also im grunde (cosx)'= -sinx * 1
> 2)
>
> Es soll g(x)= 2sin x abgeleitet werden:
>
> hier muss doch mit Produktregel abgeleitet werden- wenn ich
> mich nicht täusche... -.-
>
> demzufolge => g´(x) = sin x + 2*cos x
>
> stimmt das?
nicht ganz, das ist immer noch eine Kette und kein Fall für die Produktregel.
Die Produktregel wendet man nur an, wenn eine Variable als Faktor vor einer anderen Funktion auftaucht, also z.B.
g(x)= 2x*sin x Hier müsste man die Produktregel anwenden, aber nicht bei g(x)= 2sin x
als konstanter Faktor belibt die 2 erhalten, also g´(x) = 2*cos x (*1)
> 3)
>
> h(x) = 5x cos x
> hier wieder mit Produktregel, was heißen würde:
> h´(x) = 5 * cosx + 5x *(-sin x)
Das ist richtig ;)
> und zuletzt
>
> 4)
>
> k(x) = (sin x)³ cos x
> k´(x) = [3 * sin x + (cos x)³] * (-sin x)
> hier habe ich (sin x)³ per Produktregel abgeleitet und cos
> x "normal", müsste doch so gehen oder?
(sin x)³ ist wieder eine Kette, nur nun ist x³ die äußere und sin x die innere Funktion.
Probier dies ersmal selber und frag nochmal, wenn du nicht zurechtkommst ;)
Vereinfachungen würde ich in diesen Fällen keine sehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi!
> Die Produktregel wendet man nur an, wenn eine Variable als
> Faktor vor einer anderen Funktion auftaucht, also z.B.
> g(x)= 2x*sin x
So stimmt das nicht. Da gibt es ganz viele Beispiele, wo die Produktregel anwendbar ist, obwohl da nicht $x$ als Faktor auftaucht:
[mm] $f_1: (0,\infty)\to \IR [/mm] $ mit [mm] $f_1(x)=exp(x)*ln(x)$
[/mm]
[mm] $f_2: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_2(x)=sin(x)*cos(x)$
[/mm]
[mm] $f_3: (0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_3(x)=\wurzel{x}*exp(x^2)$
[/mm]
.
.
.
Grob gesprochen ist die Produktregel (jedenfalls) anwendbar, wenn man für $f$ zwei (auf dem Definitionsbereich von $f$) diff'bare Funktionen $u$ und $v$ finden kann, so dass für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt:
$f(x)=u(x)*v(x)$.
Dann folgt:
$f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$ [mm] $\forall [/mm] x$.
Zum Beispiel kann man in der Tat auch:
$f(x)=2sin(x)$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] mit der Produktregel ableiten:
Setze $u(x)=2$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] und $v(x)=sin(x)$ ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Mit der Produktregel folgt dann für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[m]f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)=0*sin(x)+\underbrace{2}_{=u(x)}*(sin(x))'
=2cos(x)[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo!
> 4)
>
> k(x) = (sin x)³ cos x
> k´(x) = [3 * sin x + (cos x)³] * (-sin x)
> hier habe ich (sin x)³ per Produktregel abgeleitet und cos
> x "normal", müsste doch so gehen oder?
Also ich erhalte hier:
k'(x)=3(sin [mm] x)^2 [/mm] * cos x * cos x + (sin [mm] x)^3*(-sin [/mm] x)
100%ig sicher bin ich nicht, aber eigentlich müsste es schon stimmen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Und wenn du partout nicht darauf kommen solltest, dann poste mal deinen Rechenweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
> Hallo!
> > 4)
> >
> > k(x) = (sin x)³ cos x
> > k´(x) = [3 * sin x + (cos x)³] * (-sin x)
> > hier habe ich (sin x)³ per Produktregel abgeleitet und
> cos
> > x "normal", müsste doch so gehen oder?
>
> Also ich erhalte hier:
> k'(x)=3(sin [mm]x)^2[/mm] * cos x * cos x + (sin [mm]x)^3*(-sin[/mm] x)
und wo die rede vorhin vom vereinfachen war,
k'(x)=3(sin [mm]x)^2[/mm] * (cos [mm] x)^2 [/mm] - [mm] (sinx)^4
[/mm]
bzw. k'(x)=3(sin²x) * (cos²x) - [mm] ((sin^4)(x)) [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 08.12.2004 | | Autor: | DerD |
Meine Fragen *g*
zur Aufgabe 2)
g(x)= 2 sin x
ich würde das mit der Kettenregel folgendermaßen lösen:
g´(x)= cos x * cos x,
wieso bleibt 2 als konstanter Faktor erhalten? (falls das zu viel zu erklären ist, schreib einfach "ist so" und dann bin ich zufrieden und wende das halt immer so an, dass die Faktoren erhalten bleiben... (oh man hab ich (k)eine Peilung... -.-)
mein g´(x) ist ja nun nicht wirklich identisch zu deinem...
könnte die cos x noch zusammenfassen, was mich zu
g´(x)= (cos x)² bringen würde.... mmh.... wird immer unterschiedlicher...
nochwas:
Du hattest ja bei der Ableitung hinten noch ein (*1), was für die innere Ableitung vom sinx steht, oder? Falls nicht, bitte die Herkunft kurz erläutern... :)
h i l f e ...
zur Aufgabe
4)
k'(x)=3(sin x)² * cos x * cos x + (sin x)³ * (-sin x)
meine Lösung schaut so aus:
k´(x)= 3 (sin x)² * cos x + (-sin x)³ * (-sin x)
ich kann das zweite cos x nicht nachvollziehen... (rot)
Die anderen beiden Aufgaben sind soweit klar denke ich...
Danke
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Halli hallo!
> Meine Fragen *g*
>
> zur Aufgabe 2)
>
> g(x)= 2 sin x
> ich würde das mit der Kettenregel folgendermaßen lösen:
>
>
> g´(x)= cos x * cos x,
Also die Kettenregel brauchst du hier nicht anwenden! Denn es Sinx ist ja keine Verkettung zweier Funktionen! Hier mußt du dir einfach merken, dass gilt (sinx)'=cosx.
Wenn du die Kettenregel dennoch anwenden willst, geht das aber so:
g(x)=2*sin(x)
[mm] \rightarrow [/mm] g'(x)=(2)'*sinx+2*(sinx)'=0*sinx+2*cosx=2*cosx
> wieso bleibt 2 als konstanter Faktor erhalten? (falls das
> zu viel zu erklären ist, schreib einfach "ist so" und dann
> bin ich zufrieden und wende das halt immer so an, dass die
> Faktoren erhalten bleiben... (oh man hab ich (k)eine
> Peilung... -.-)
Der konstante Faktor vor einer Funktion bleibt stehen; es gilt also:
[mm] g(x)=a*x^{n} \rightarrow g'(x)=a*n*x^{n-1} [/mm] wobei a hier unser konstanter Faktor ist!
Aber konstante Faktoren allein werden abgeleitet zu Null, also
g(x)=a [mm] \rightarrow [/mm] g'(x)=0
> nochwas:
> Du hattest ja bei der Ableitung hinten noch ein (*1), was
> für die innere Ableitung vom sinx steht, oder? Falls nicht,
> bitte die Herkunft kurz erläutern... :)
Genau, bei der Ableitung so einer Funktion mußt du die innere mal die äußere Ableitung nehmen; es gilt also bei uns:
g(x)=2*sinx
Die äußere Ableitung ist (sinx)'=cosx und die innere Ableitung ist (x)'=1.
Für h(x)=sin(2x) würde gelten:
äußere Ableitung=cos(2x)
innere Ableitung=(2x)'=2
Also gilt: g(x)'=2*cos(2x)
> zur Aufgabe
> 4)
> k'(x)=3(sin x)² * cos x * cos x + (sin x)³ * (-sin x)
>
> meine Lösung schaut so aus:
> k´(x)= 3 (sin x)² * cos x + (-sin x)³ * (-sin x)
> ich kann das zweite cos x nicht nachvollziehen... (rot)
Das zweite cosx kommt daher:
Du leitest zu Beginn ja die Funktion [mm] (sinx)^{3} [/mm] ab, und es gilt:
äußere [mm] Ableitung=3*(sinx)^{2}
[/mm]
innere Ableitung ist hier=(sinx)'=cosx
Also folgt für den ersten Teil: [mm] 3*(sinx)^{2}*cosx*cosx
[/mm]
Der zweite Teil ergibt sich zu [mm] (sinx)^{3}*(-sinx)
[/mm]
Also folgt:
[mm] k'(x)=3*(sinx)^{2}*(cosx)^{2}-(sinx)^{4}
[/mm]
Ich hoffe ich konnte es dir einigermaßen verständlich machen!
Liebe Grüße
Ulrike
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
> Denn es Sinx ist ja keine Verkettung zweier Funktionen! Hier
> mußt du dir einfach merken, dass gilt (sinx)'=cosx.
> Wenn du die Kettenregel dennoch anwenden willst, geht das
> aber so:
> g(x)=2*sin(x)
> [mm]\rightarrow[/mm]
> g'(x)=(2)'*sinx+2*(sinx)'=0*sinx+2*cosx=2*cosx
ich bin mir nicht ganz dicher, aber ich würde nicht sagen, dass sinx keine Verkettung ist,
den die innere Funktion ist 1*x.
Ganz sicher bin ich mir damit nicht, aber später sagst du ja auch
> Die äußere Ableitung ist (sinx)'=cosx und die innere
> Ableitung ist (x)'=1.
Aber man kanna die Kettenregel ja auch bei (1*1)' anwenden,
daher zweifle ich nun irgendwie selbst, ob sinx eine kette ist..., im gefühl aber irgendwie schon^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> ich bin mir nicht ganz dicher, aber ich würde nicht sagen,
> dass sinx keine Verkettung ist,
> den die innere Funktion ist 1*x.
Naja, so kann man jede Abbildung als Verkettung schreiben:
Seien $M$ und $N$ nichtleere Mengen und $f:M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung. Dann gilt mit $g: M [mm] \to [/mm] M$ definiert durch $g(x):=x$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$):
Es gilt: $f(x)=f(g(x))$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$, also [mm] $f=f\circ [/mm] g:M [mm] \to [/mm] N$.
(Bemerkung: g ist bijektiv!)
Wendest du das jetzt hier an, indem du:
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] durch $g(x)=x$ definierst, so gilt für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
$sin(x)=sin(g(x))$ und mit der Kettenregel folgte:
[mm] $sin'(x)=sin'(\,\underbrace{g(x)}_{=x}\,)*\underbrace{g'(x)}_{=1}=sin'(x)$ [/mm] und dann hättest du, außer dass du das ganze kompliziert gerechnet hättest, nichts gewonnen.
Also: Fasse den Sinus (für sich alleine genommen) lieber nicht als solch eine Verkettung auf, es bringt eh nichts! (Man dreht sich nur im Kreis:
Um die Ableitung so mit der Kettenregel berechnen zu können, muss man die Ableitung von $sin$ bereits kennen.) 
Der Sinus (so, wie ihr ihn kennt) ist also keine wirkliche Verkettung. Darüber kann man sich jetzt wegen obigem Argument streiten und unnötig herumphilosophieren, aber wie gesagt, selbst, wenn man jede Funktion so als Verkettung ansieht, springt dabei nicht wirklich etwas heraus...
Viele Grüße,
Marcel
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