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monoton

Monotonie einer Funktion

Eine Funktion $ f $ heißt "streng monoton steigend" auf dem Intervall $ I $,
wenn für alle $ x_1 < x_2 $ aus dem Intervall $ I $ gilt: $ f(x_1)<f(x_2) $,
also: wenn für steigende $ x $ (aus $ I $) auch die Funktionswerte steigen.
--
Eine Funktion $ f $ heißt "monoton steigend" auf dem Intervall $ I $,
wenn für alle $ x_1 < x_2 $ aus dem Intervall $ I $ gilt: $ f(x_1) \leq f(x_2) $,
also: wenn für steigende $ x $ (aus $ I $) die Funktionswerte nicht fallen.
--
Analoge Definition für (streng) monoton fallende Funktion:
Eine Funktion $ f $ heißt "streng monoton fallend" auf dem Intervall $ I $,
wenn für alle $ x_1 < x_2 $ aus dem Intervall $ I $ gilt: $ f(x_1)>f(x_2) $,
also: wenn für steigende $ x $ (aus $ I $) die Funktionswerte fallen.
--
Eine Funktion $ f $ heißt "monoton fallend" auf dem Intervall $ I $,
wenn für alle $ x_1 < x_2 $ aus dem Intervall $ I $ gilt: $ f(x_1) \geq f(x_2) $,
also: wenn für steigende $ x $ (aus $ I $) die Funktionswerte nicht steigen.
--
Voraussetzungen
Das Intervall $ I \not=\emptyset $ muß im Definitionsbereich der Funktion enthalten sein.


Bemerkungen.

1.) Wenn die Funktion differenzierbar ist, ermittelt man oft zunächst die Extremstellen der Funktion, um Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion treffen zu können.
Es gilt nämlich (anschaulich):
Die Funktion "steigt" vom (lokalen) Tiefpunkt bis zum (lokalen) Hochpunkt, anschließend fällt sie wieder bis zum nächsten (lokalen) Tiefpunkt etc.

2.) Jede "streng monoton steigende" Funktion ist auch "monoton steigend".

3.) Jede "streng monoton fallende" Funktion ist auch "monoton fallend".

4.) Jede reellwertige monotone Funktion hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, und diese sind alle Sprungstellen!

5.) Ist $ I=[a,b] \subset \IR $ ein Intervall und ist $ f $ auf $ I^o $ differenzierbar und stetig auf $ I $, so gilt:
i) Genau dann, wenn $ f'(x) \ge 0 $ $ \forall x \in I^o $ gilt, ist $ f $ monoton wachsend auf $ I $.
ii) Gilt $ f'(x) > 0 $ $ \forall x \in I^o $, so ist $ f $ streng monoton wachsend auf $ I $.
iii) Genau dann, wenn $ f'(x) \le 0 $ $ \forall x \in I^o $ gilt, ist $ f $ monoton fallend auf $ I $.  
iv) Gilt $ f'(x) < 0 $ $ \forall x \in I^o $, so ist $ f $ streng monoton fallend auf $ I $.

(Hierbei ist $ I^o $ das Innere von $ I $, also $ I^o=(a,b) $. Beweisen kann man die Aussagen 5.) i) bis iv) mit dem Mittelwertsatz.)

Man beachte:
Z.B. 5.) ii) läßt sich nicht umkehren, d.h., unter den gegebenen Voraussetzungen an $ f $ gilt:
$ f $ streng monoton auf $ I $ $ \stackrel{i.A.}{\not\!\!\Longrightarrow} $ $ f'(x) > 0 $ $ \forall x \in I^o $.
Dazu betrachte man etwa $ f:\IR \to \IR $ definiert durch $ f(x):=x³ $. $ f $ ist streng monoton auf ganz $ \IR $ und differenzierbar auf ganz $ \IR $, also insbesondere stetig auf $ [-1,1] \subset \IR $ und differenzierbar auf $ (-1,1) \subset \IR $. Es gilt jedoch $ f'(0)=0 $ (und es ist $ 0 \in (-1,1) $).



Beispiele:

1.) Die Funktion $ f: \IR \rightarrow \IR $ definiert durch $ f(x):=x^2 $ ist "(streng) monoton steigend" auf dem Intervall $ [0;\infty[ $ und "(streng) monoton fallend" auf dem Intervall $ ]-\infty;0] $.   

2.) Die Funktion $ f: \IR \rightarrow \IR $ definiert durch $ f(x):=4 $ ist sowohl "monoton fallend" als auch "monoton steigend" auf jedem nichtleeren Intervall $ I \subset \IR $.
Diese Funktion ist jedoch auf keinem Intervall $ I \subset \IR $, das mehr als eine reelle Zahl enthält, "streng monoton (steigend oder fallend)".

3.) Die Funktion $ f: \IR \rightarrow \IR $ definiert durch $ f(x):=\left\{\begin{matrix} 3x, & \mbox{falls }x < 0 \\ 2, & \mbox{falls } 0 \le x \le 3 \\ -x^2, & \mbox{falls } x > 3 \end{matrix}\right\} $
ist "streng monoton steigend" auf dem Intervall $ I_1:=]-\infty;0[ $, sowohl "monoton steigend" als auch "monoton fallend" auf dem Intervall $ I_2:=[0;3] $ und "streng monoton fallend" auf dem Intervall $ I_3:=]3;\infty[ $.
Ferner gilt hier:
$ f $ ist "monoton steigend" auf dem Intervall $ I_4:=I_1 \cup I_2=]-\infty;3] $ (aber dort ist $ f $ nicht streng monoton steigend!) und
$ f $ ist "monoton fallend" auf dem Intervall $ I_5:=I_2 \cup I_3=[0;\infty[ $ (aber dort ist $ f $ nicht streng monoton fallend!).

Erstellt: Di 28.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 05.10.2006 um 16:30 von informix
Weitere Autoren: Marcel
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