Schranke

Zahlenfolgen oder Funktionen, deren Werte nicht ins Unendliche reichen, nennt man beschränkt.
Um die Beschränktheit konkret zu erfassen, verwendet man die Begriffe der oberen und der
unteren Schranke einer Zahlenfolge oder Funktion.

Zahlenfolgen:

        sei eine Zahlenfolge und    eine reelle Zahl.

    Dann heisst    eine

    obere Schranke  der Zahlenfolge   , falls    für alle  

    bzw. eine

    untere Schranke  der Zahlenfolge   , falls    für alle  

Funktionen:

        sei eine reelle Funktion und    eine reelle Zahl.

    Dann heisst    eine

    obere Schranke  der Funktion   , falls    für alle  

    bzw. eine

    untere Schranke  der Funktion   , falls    für alle  

(Die Definitionen für den Fall der Zahlenfolgen sind Spezialfälle derjenigen für Funktionen,
denn eine Zahlenfolge ist eigentlich nichts anderes als eine Funktion mit Definitionsbereich  .)

Begriffe:

Besitzt eine Funktion oder eine Zahlenfolge eine obere Schranke, so heisst sie "nach oben beschränkt".

Besitzt sie eine untere Schranke, so heisst sie "nach unten beschränkt".

Liegt sowohl eine obere als auch eine untere Schranke vor, dann ist die Funktion bzw. die Folge "beschränkt".

Anwendung:

In der Grundlegung der Analysis (Analysis infinitorum, in etwa "Untersuchung des Unendlichen und des
unendlich Kleinen") spielt der Begriff Beschränktheit eine wichtige Rolle, dann man kann "das Unendliche
nur bändigen, indem man vom Endlichen, Beschränkten ausgeht" und Gesetze der Logik anwendet.

Als Beispiel nur ein wichtiger Satz:

Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge besitzt einen Grenzwert.    Konvergenzkriterien   

Beschränktheit bei Mengen:

Der Begriff "beschränkt" hat eigentlich seine Heimat gar nicht unbedingt bei den Funktionen und Zahlenfolgen,
sondern in der Mengenlehre, genauer im Gebiet der halbgeordneten oder geordneten Mengen, der metrischen
Räume etc. . Dazu nur dies als Zugangslink:    Wikipedia: Beschränktheit