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Zahlsysteme

Rechnen in anderen Zahlsystemen

$ (2020...20)_3 $ bezeichne die im Dreiersystem aus n Ziffernblöcken "20" dargestellte Zahl.

Beweisen Sie: $ (2020...20)_3 = \bruch{3}{4}(9^n - 1) $

Die Ziffernfolge $ a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}...a_{1}a_{0} $ zur Basis $ b_ $ stellt ja diesen Wert dar:

$ \sum_{k=0}^{n-1}a_{k}b^k $

In diesem Beispiel ist $ b=3 $, die $ a_k $ mit geradem $ k_ $ haben den Wert Null, die anderen den Wert $ 2_ $.

Somit erhalten wir:

$ \sum_{k=0}^{n-1}2\cdot{}3^{2k+1} $

Von nun an sind es ganz einfache, elementare Umformungen:

$ \sum_{k=0}^{n-1}2\cdot{}3^{2k+1}=2\sum_{k=0}^{n-1}3^{2k+1}=2\sum_{k=0}^{n-1}3\cdot{}3^{2k}=6\sum_{k=0}^{n-1}3^{2k}=6\sum_{k=0}^{n-1}9^k $

Das ist die Summe der ersten n Glieder einer [link]Geometrischen Reihe.
Dafür gibt es eine Formel: $ \sum_{k=0}^{n-1}q^k=\bruch{q^n-1}{q-1} $


Somit weiter:

$ ... = 6\bruch{9^n-1}{9-1}=6\bruch{9^n-1}{8}=\bruch{3}{4}(9^n-1) $

zur geometrischen Reihe siehe [link]Wikipedia

Erstellt: So 23.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 29.01.2005 um 09:47 von Marc
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