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Vektorraum

Universität

Es sei $ K $ ein Körper. Ein $ K $-Vektorraum (man sagt auch: ein Vektorraum über $ K $) ist eine Menge $ V $ mit einer Abbildung $ +\colon V \times V \to V, $ $ V \times V \ni (a,b) \mapsto a+b:=+(a,b) \in V, $ genannt Addition (auf $ V $), sowie einer weiteren Abbildung $ \cdot \colon K \times V \to V, $ $ K \times V \ni k \cdot v:=\cdot(k,v) \in V, $ genannt skalare Multiplikation (oft auch, in etwas ungünstiger Weise als Skalarmultiplikation bezeichnet), so dass folgendes gilt:

(i) $ (V,+) $ ist eine abelsche Gruppe, d.h. es gelten

   (i,a): $ (a+b)+c=a+(b+c) $ für alle $ a,b,c \in V $ (Assoziativität)
   (i,b): Es existiert ein $ e \in V $ mit $ e+v=v $ für alle $ v \in V $ (Existenz eines (links-)neutralen Elements)
   (i,c): Für alle $ v \in V $ existiert ein $ w \in V $ mit $ w+v=e $ (Existenz (links-)inverser Elemente)
   (i,d): Für alle $ a,b \in V $ gilt $ a+b=b+a $ (Kommutativität)

(ii) $ (\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta \cdot v $ und $ \alpha \cdot(v+w)=\alpha \cdot v+\alpha \cdot w $ für alle $ \alpha,\beta \in K $ und $ v,w \in V. $ ("Distributivität")

(iii) $ (\alpha \beta)\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v) $ für alle $ \alpha,\beta \in K $ und $ v \in V. $ ("Assoziativät")

(iv) $ 1 \cdot v=v $ für alle $ v \in V, $ wobei $ 1=1_K $ das multiplikative Inverse in $ K $ sei.

Bemerkungen:
(1) In (iii) steht $ \alpha \beta $ für $ \alpha \cdot \beta\,, $ wobei hier allerdings $ \cdot $ die Multiplikation in $ K $ gemeint ist!

(2) In (nicht notwendig abelschen) Gruppen gibt es genau ein links-neutrales Element, ebenso sind die links-inversen Elemente eindeutig. Ferner ist dann das linksneutrale Element auch rechtsneutral, und wird dann als das neutrale Element bezeichnet. Man spricht dann (in obigem Falle) auch von der additiven Null, und schreibt auch $ 0 $ (bzw. oben auch $ 0_V $) dafür. Das für $ v \in V $ eindeutig bestimmte (additiv) Inverse Element (links-inverse sind auch rechts-inverse Elemente und eindeutig) $ w \in V $ mit $ v+w=w+v=0 $ wird auch also $ -v \;(\in V) $ notiert: $ -v:=w. $

(3) In Körpern $ (K,+,\cdot) $ ist bekanntlich $ \alpha \beta $ (wobei $ \alpha,\beta \in K $) eine Kurznotation für $ \alpha \cdot b. $ Analog schreiben wir auch bei der skalaren Multiplikation oben $ \alpha v:=\alpha \cdot v $ für $ \alpha \in K $ und $ v \in V. $

Erstellt: Do 06.06.2013 von Marcel
Letzte Änderung: Do 06.06.2013 um 16:06 von Marcel
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