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Untervektorraum
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Untervektorraum

Definition (Untervektorraum):

$ V $ sei ein $ \IK $-Vektorraum. Eine Teilmenge $ U\subseteq V $ heißt Untervektorraum, falls gilt:

(I)    $ 0_V\in U $

       (Der Nullvektor ist Element von $ U $.)

(II)  $ v\in U $ und $ \lambda\in\IK $ $ \Rightarrow $ $ \lambda v\in U $ $ \forall v\in U,\lambda\in\IK $.

      (Ist $ v $ in $ U $, so auch alle Vielfachen.)

(III) $ v,v'\in U $ $ \Rightarrow $ $ v+v'\in U $ $ \forall v,v'\in U $.

      (Zu zwei Vektoren in $ U $ ist auch deren Summe in $ U $.)



Beispiele:

(1.) Ein sehr kleiner Untervektorraum:
$ V=\IR^n $ und $ U=\left\{\vektor{0\\\vdots\\0}\right\}\subseteq\IR^n $.
Beweis:
(I) $ 0_{\IR^n}=\vektor{0\\\vdots\\0}\in U $
(II) $ v\in U $ $ \Rightarrow $ $ v=\vektor{0\\\vdots\\0} $ $ \Rightarrow $ $ \lambda v=\lambda \vektor{0\\\vdots\\0}=\vektor{0\\\vdots\\0}\in U $ $ \forall \lambda\in\IR $
(III) $ v,v'\in U $ $ \Rightarrow $ $ v=\vektor{0\\\vdots\\0}=v' $ $ \Rightarrow $ $ v+v'=\vektor{0\\\vdots\\0}\in U $ $ \forall v,v'\in U $ $ \square $


(2.) $ V=Abb(\IR,\IR) $ und $ U=\{f:\IR\to\IR|f(1)=0\}\subseteq V $ ist ein Untervektorraum.

Beweis:

(I) $ 0_{Abb}:\IR\to\IR $ mit $ 0_{Abb}(x)=0 $ ist die Nullabbildung. $ 0_{Abb}\in U $, denn $ 0_{Abb}(1)=0 $.

(II) $ \forall f\in U $, d.h. $ f:\IR\to\IR $ mit $ f(1)=0 $, und $ \lambda\in\IK $ $ \Rightarrow $ $ \lambda f\in U $, denn $ \lambda f(1)=\lambda \cdot 0=0 $.

(III) $ \forall f,g\in U $, d.h. $ f,g:\IR\to\IR $ mit $ f(1)=0 $ und $ g(1)=0 $ $ \Rightarrow $ $ f+g\in U $, denn $ (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0 $. $ \square $

Dagegen ist $ U'=\{f:\IR\to\IR|f(0)=1\}\subseteq V $ kein Untervektorraum, da (I) offensichtlich nicht erfüllt ist.


(3.) Sei V ein $ \IK $-Vektorraum. Der Spann der Vektoren $ v_1,...,v_k\in V $,

$ span(v_1,...,v_k):=\{v=a_1v_1+...+a_kv_k|a_1,...,a_k\in\IK\}\subseteq V, $

ist ein Untervektorraum.

Beweis:

(I) $ 0_V\in span(v_1,...,v_k) $, denn $ 0\cdot v_1+...+0\cdot v_k=0_V+...+0_V=0_V $

(II) $ v\in span(v_1,...,v_k) $ $ \Rightarrow $ $ v=a_1v_1+...+a_kv_k $ für gewisse $ a_i\in\IK $ $ (i\in\{1,...,k\}) $.

     $ v\in span(v_1,...,v_k) $ und $ \lambda\in\IK $ $ \Rightarrow $ $ \lambda v\in span(v_1,...,v_k) $, d.h. $ \lambda v=b_1v_1+...+b_k v_k $ für gewisse $ b_i\in\IK $ $ (i\in\{1,...,k\}) $, denn:

     $ \lambda v=\lambda(a_1v_1+...+a_kv_k)=(\lambda a_1)v_1+...+(\lambda a_k)v_k $. Setze $ b_i=\lambda a_i $ $ \forall i\in\{1,...,k\} $.

(III) $ v,v'\in span(v_1,...,v_k) $ $ \Rightarrow $ $ v=a_1v_1+...+a_kv_k $ und $ v'=a'_1v_1+...+a'_kv_k $ für gewisse $ a_i,a'_i\in\IK $ $ \Rightarrow $ $ v+v'=(a_1+a'_1)v_1+...+(a_k+a'_k)v_k $ $ \Rightarrow $ $ v+v'\in span(v_1,...,v_k) $ $ \square $

Erstellt: Fr 26.09.2014 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 27.09.2014 um 15:12 von Ladon
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