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Teleskopreihe
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Teleskopreihe

Unter einer (etwa reellen oder komplexen) Teleskopreihe versteht man eine Reihe der Bauart

$ \sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)\,. $

(Bei einer reellen Teleskopreihe sind alle Summanden rein reell, analog bei einer komplexen alle komplex.)

Es gilt: Aus $ a_n \to a $ (wobei auch $ a=\pm \infty $ erlaubt sei) folgt

$ \sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)=a-a_0\,. $

(Hinweis: Für $ a_0 \in \IR $ ist $ \pm\infty-a_0:=\pm \infty, $ für $ a_0 \in \IC $ ist $ \infty-a_0:=\infty\,. $)

Beweis:
Es gilt

$ \sum_{n=0}^\infty (a_{n+1}-a_n)=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N (a_{n+1}-a_n)=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{n=0}^N a_{n+1}-\sum_{n=0}^N a_n\right)=\lim_{N \to \infty} \left(\sum_{n=\red{1}}^{\red{N+1}} a_{\red{n}}-\sum_{n=0}^N a_n\right) $

$ =\lim_{N \to \infty} \left(a_{N+1}+\sum_{n=1}^N a_n-\left(a_0+\sum_{n=1}^N a_n\right)\right)=\lim_{N \to \infty} (a_{N+1}-a_0)=\lim_{N \to \infty}a_{N+1}-a_0=a-a_0\,. $

$ \hfill \Box $

Weitere Hinweise:
1.) Die Reihe muss nicht zwingend bei $ n=0\, $ starten. Was sich bei solch einer leichten Modifikation ändert, diese Überlegungen überlassen wir dem mitdenkenden Leser/der mitdenkenden Leserin.

2.) Manche Autoren bezeichnen Teleskopreihen auch als Ziehharmonikareihen.

Erstellt: Mo 27.05.2013 von Marcel
Letzte Änderung: Mi 10.12.2014 um 21:09 von Marcel
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