www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Quotientenregel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Quotientenregel

Quotientenregel.


Schule


Merkregel:


$ f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \bruch{u'v - v'u}{v²} $


Universität

Hat eine Funktion $ f $ die Form

$ f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)} $ (mit $ f,g,h: M \longrightarrow \IR $, wobei $ M \subseteq \IR $)

und ist $ x_0 $ aus dem Definitionsbereich von $ f $, so gilt, unter den Voraussetzungen, dass $ g $ und $ h $ in $ x_0 $ differenzierbar sind und im Falle $ h(x_0)\not=0 $:
$ f $ ist diff'bar in $ x_0 $ und es gilt

$ f'(x_0)=\bruch{g\,'(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)\cdot{}h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $


Beweis

Da $ h $ diff'bar in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere, dass $ h $ stetig in $ x_0 $ ist.

(Denn: Sei $ (x_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ x_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ x_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Dann gilt:
$ \lim_{n \to \infty} {(h(x_n)-h(x_0))}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\cdot{}(x_n-x_0)\right) $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty} {\left(\frac{h(x_n)-h(x_0)}{x_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0),\,\,da\;h\;diff'bar\;in\;x_0}\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}(x_n-x_0)}_{=0, \,\, da\;x_n \to x_0}=h'(x_0)\cdot{}0=0 $,

also $ h(x_n) \to h(x_0) $ ($ n \to \infty $).)

Sei $ (\hat{x}_n)_{n \in \IN} $ eine Folge in $ M $ mit $ \hat{x}_n \to x_0 $ ($ n \to \infty $), $ \hat{x}_n \not= x_0 $ $ \forall n \in \IN $.
Weil $ \lim_{n \to \infty}{\hat{x}_n}=x_0 $ und weil $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, gilt insbesondere:
$ \exists N \in \IN $: $ \forall n \ge N $: $ h(\hat{x}_n)\not=0 $ (beachte: $ h(x_0)\not=0 $).

Es folgt für alle $ n \in \IN $, $ n \ge N $:

$ \frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}=\frac{\frac{g(\hat{x}_n)}{h(\hat{x}_n)}-\frac{g(x_0)}{h(x_0)}}{\hat{x}_n-x_0} $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{g(\hat{x}_n)h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)+g(x_0)\cdot{}h(x_0)-g(x_0)h(\hat{x}_n)}{\hat{x}_n-x_0} \right) $

$ =\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}\cdot{}\left(\frac{[\,g(\hat{x}_n)-g(x_0)]\cdot{}h(x_0)-g(x_0)[\,h(\hat{x}_n)-h(x_0)]}{\hat{x}_n-x_0}\right) $

Weil $ g $ und $ h $ diff'bar in $ x_0 \in M $, und weil (siehe oben) $ h $ stetig in $ x_0 $ ist, folgt:
$ \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{f(\hat{x}_n)-f(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)} $

$ =\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{h(\hat{x}_n)\cdot{}h(x_0)}}}_{=\frac{1}{h(x_0)\cdot{}h(x_0)}}\cdot{}\left(h(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{g(\hat{x}_n)-g(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=g\,'(x_0)}-g(x_0)\cdot{}\underbrace{\lim_{n \to \infty}{\left(\frac{h(\hat{x}_n)-h(x_0)}{\hat{x}_n-x_0}\right)}}_{=h'(x_0)}\right) $

$ =\frac{g\,'(x_0)h(x_0)-g(x_0)h'(x_0)}{(h(x_0))^2} $                                   

$ \Box $
Erstellt: Di 07.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 21.12.2006 um 16:52 von Loddar
Weitere Autoren: Hanno, Marc, Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]