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Primfaktorzerlegung
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Primfaktorzerlegung

Schule

Eine natürliche Zahl $ n\in\IN=\{1,2,3,\ldots\} $, die genau zwei unterschiedliche Teiler hat, heißt Primzahl.
Damit ist die Menge der Primzahlen: $ \{2,3,5,7,11,13,\ldots\} $.
Man erkennt, dass

  • 1 nicht dazugehört, weil sie nur einen Teiler hat,
  • 2 die einzige gerade Primzahl ist.
    Jede beliebige natürliche Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen (Primfaktorzerlegung).

Beispiele siehe unten.


Universität

Satz Primfaktorzerlegung

Es sei n eine natürliche Zahl ($ n\in\IN=\{1,2,3,\ldots\} $).

Dann läßt sich n eindeutig (bis auf die Reihenfolge) als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen.

Exakter: Zu der Menge der Primzahlen $ \IP=\{p_1,p_2,p_3,\ldots\}=\{2,3,5,\ldots\} $ existiert eine eindeutig festgelegte Folge von Zahlen $ \alpha_i\in\{0,1,2,\ldots\} $ so dass gilt:

$ n=p_1^{\alpha_1}\cdot{}p_2^{\alpha_2}\cdot{}p_3^{\alpha_3}\cdot{}\ldots=\prod\limits_{i\in\IN} p_i^{\alpha_i} $

Diese Darstellung der Zahl n heißt Primfaktorzerlegung.


Bemerkungen.

Unter der (unendlich langen) Folge der $ \alpha_i $ sind nur endlich viele Zahlen ungleich Null.

Der [link]MatheRaum stellt ein [link]Werkzeug zur Berechnung der Primfaktorzerlegung zur Verfügung.


Beispiele.

1.) n=35; [link]Primfaktorzerlegung: $ n=2^0\cdot{}3^0\cdot{}5^1\cdot{}7^1\cdot{}\ldots=5^1\cdot{}7^1 $
2.) n=144; [link]Primfaktorzerlegung: $ n=2^4\cdot{}3^2\cdot{}5^0\cdot{}7^0\cdot{}\ldots=2^4\cdot{}3^2 $
3.) n=1; [link]Primfaktorzerlegung: $ n=2^0\cdot{}3^0\cdot{}5^0\cdot{}7^0\cdot{}\ldots=1 $


Beweis.

TODO

Erstellt: Mo 30.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mi 24.05.2006 um 22:28 von informix
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