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Orthogonalisierungsverfahren

Orthogonalisierung zum Lösen linearer Gleichungssysteme


Beschreibung

Man möchte ein Gleichungssystem Ax=b lösen. Dazu berechnet man eine Zerlegung der Matrix A in das Produkt zweier Matrizen A=QR. Wobei diese Matrizen folgende schöne Eigenschaften haben:

$ Q^T=Q^{-1} $

$ R=\pmat{r_{11} & \cdots & r_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots &\\ 0 & \cdots & r_{nn}} $

Die Inverse von Q ist also gleich ihrer Transponierten und R ist eine obere Dreiecksmatrix. Deren Lösung man durch Rückwärtseinsetzen bestimmen kann.


Algorithmus

Gegeben (A,b)
Gesucht die Lösung x von Ax=b

1. Berechne die QR-Zerlegung von A
       A->(Q,R)

2. Berechne $ c=Q^Tb $

3. Löse das Dreieckssystem Rx=c


Verfahren zur praktischen Umsetzung

Householder Spiegelungen

Givens Drehungen

Gram-Schmidt Orthogonalisierung


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Erstellt: Fr 25.02.2005 von mathemaduenn
Letzte Änderung: Mo 18.09.2006 um 09:03 von mathemaduenn
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