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Materialien zum MatheRaum-Forum [link]Geraden, Ebenen und Kugeln


Gegliederte Aufgabe, die auch als mündliche Prüfungsaufgabe dienen könnte:


  1. Welches geometrische Gebilde wird durch die Funktion $ x_{1} + x_{2} + 5 = 0 $ im $ R^2 $ (also zweidimensionalen) und im $ R^3 $ (also dreidimensionalen) dargestellt?
  2. Gegeben ist die Funktion $ x_{1} + x_{2} + x_{3} + 5 = 0 $. Geben Sie die Hessesche Normalenform dieser Ebene an!
  3. Geben Sie eine Parameterform dieser Ebene an!
  4. Welchen Abstand hat diese Ebene von Frage 2 vom Ursprung des Koordinatensystems?
  5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2 berührt.
    ([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Geraden und Ebenen

Welche der Ebenen schneiden Ebene 4? Bestimme ggfs. die Schnittgeraden mit $ E_4 $:

Ebene 1: $ E_{1}:2 x_{1}-x_{2}- x_{3}=1 $

Ebene 2: $ E_{2}:5 x_{1}+2 x_{2}+ x_{3}=-6 $

Ebene 3: $ E_{3}:4 x_{2}+5 x_{3}=20 $

Ebene 4: $ E_{4}:\vec{x}=\pmat{ 3 \\ 1 \\ 5 } + r \pmat{ 2 \\ -1 \\ 0 } + s \pmat{ -1 \\ 0 \\ 3 } $
([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

(a) Die Vektoren  $ \overrightarrow{p} \ = \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{q} \ = \ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $ schliessen einen rechten Winkel ein. Der Vektor  $ \overrightarrow{p} $ hat die Länge 15. Ferner gilt: $ x \ + \ 5z \ = 0 \ $, mit $ x > 0 $.
Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors  $ \overrightarrow{p} $.

(b) Mit den Vektoren $ \overrightarrow{AB} \ = \ \overrightarrow{p} $ und $ \overrightarrow{AD} \ = \ k\cdot{} \overrightarrow{q} $ mit $ k \ > \ 0 $ wird vom Punkt $ A \ (-2 \ / \ 1 \ / \ 7 \ ) $ ein Quadrat ABCD aufgespannt.
Bestimmen Sie k und die Koordinaten der Eckpunkte B, C und D des Quadrates.

(c) Der Ursprung O ist die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Kugeln

Es sei eine Kugel K, die alle Koordinatenebenen und die Ebene E: 2x + y - 2z = 5 berührt.
Begründen Sie, dass M(r|r|-r) als Kugelmittelpunkt gewählt werden kann.

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe: schöne Erklärung)

Gegeben sind die Punkte P(3|-3|4) und Q(3|0|7) der Grade g, sowie der Mittelpunkt M(7|1|6) der Kugel K. P liegt auf der Kugeloberfläche.

a) Wie groß ist der Radius der Kugel K?

b) Wie lang ist jene Strecke der Gerade g, die innerhalb der Kugel K verläuft.

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Ein Flugzeug A fliegt von der Position $ P_1 $ (6|-2|2) nach $ P_2 $ (-2|2|2).
Ein Flugzeug B fliegt von Position $ Q_1 $ (2|3|1) nach $ Q_2 $ (-0,4|4|2,8).

a) Bestimmen Sie die kürzeste Entfernung der beiden Flugrouten.
b) Flugzeug A befindet sich zum selben Zeitpunkt an Position P1, wie Flugzeug B an Position Q1. Ihre Gleichschwindigkeit ist gleich.
Wie nah kommen sich beide Flugzeuge, wenn sie ihren Kurs jeweils bebehalten?
c) An welchem Ort tritt Flugzeug A in den Überwachungsraum einer im Punkt M(0|1|0) befindlichen Radarstation ein und wieder aus(Reichweite 3)?

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Welche Kugel mit dem Mittelpunkt auf der Geraden g: $ \vec x = \vektor{2 \\ 3 \\ 2} + \lambda \vektor{2 \\ 5 \\ -4} $ und dem Radius 9
berührt die Ebene E: $ \vec x =\vektor{1 \\ 2 \\ -1} + \alpha \vektor{1 \\ 1 \\ -4} +\beta \vektor{1 \\ -1 \\ 0}? $
Bestimme den Berührungspunkt.

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Gegeben ist die Kugel K: (x+2)²+(y-5)²+(z-3)²=196, sowie die Ebene E: 2x+3y+6z=29

In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde bereits gezeigt, dass E die Kugel "halbiert" also durch den Mittelpunkt M (-2;5;3) verläuft.

Es gibt zwei Ebenen F und G, die parallel zu E verlaufen und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius $ \wurzel{183,75} $ schneiden. Bestimmen Sie ihre Gleichungen!

([link]zur Diskussion dieser Aufgabe)

Erstellt: Mo 29.05.2006 von informix
Letzte Änderung: Mo 07.04.2008 um 22:35 von informix
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