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Vektorprodukt
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Vektorprodukt

(Weitergeleitet von Kreuzprodukt)

Definition Vektorprodukt


Schule

$ \vektor{a_1\\a_2\\a_3}\times\vektor{b_1\\b_2\\b_3}=\vektor{a_2\cdot{}b_3-a_3\cdot{}b_2\\a_3\cdot{}b_1-a_1\cdot{}b_3\\a_1\cdot{}b_2-a_2\cdot{}b_1} $


Hat man zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $,
ergibt der Vektor $ \vec{n}=\vec{a}\times\vec{b} $ einen Vektor, der Senkrecht auf $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ steht.
(Der Beweis läuft über das Skalarprodukt; es gilt:
$ \vec{a}\cdot{}\vec{n}=0 $ und $ \vec{b}\cdot{}\vec{n}=0 $)

Dieses ist sehr hilfreich, wenn man eine Ebene in Parameterform in Normalenform umwandeln will, dann ist der Normalenvektor mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren schnell ermittelt.

Eine weitere Möglichkeit das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) zu ermitteln besteht über eine 3x3-Determinante.

$ \vmat{ \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}} = \vec{i}(a_{2}\cdot{}b_{3})+\vec{j}(a_{3}\cdot{}b_{1})+\vec{k}(a_{1}\cdot{}b_{2})-\vec{k}(a_{2}\cdot{}b_{1})-\vec{i}(a_{3}\cdot{}b_{2})-\vec{j}(a_{1}\cdot{}b_{3}) $

Nun ersetzt man
$ \vec{i}=\vektor{1\\0\\0} \vec{j}=\vektor{0\\1\\0} \vec{k}=\vektor{0\\0\\1} $ (Das sind die kanonischen Einheitsvekotren des $ \IR^3 $)

$ =\vektor{1\\0\\0}\cdot{}(a_{2}\cdot{}b_{3}-a_{3}\cdot{}b_{2})+\vektor{0\\1\\0}\cdot{}(a_{3}\cdot{}b_{1}-a_{1}\cdot{}b_{3})+\vektor{0\\0\\1}\cdot{}(a_{1}\cdot{}b_{2}-a_{2}\cdot{}b_{1}) $

Nun fasst man alles zusammen und erhält folgenden Vektor:


$ \vec{n}=\vektor{a_{2}\cdot{}b_{3}-a_{3}\cdot{}b_{2}\\ a_{3}\cdot{}b_{1}-a_{1}\cdot{}b_{3}\\a_{1}\cdot{}b_{2}-a_{2}\cdot{}b_{1}} $


Universität


Links

[link]http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorprodukt

Erstellt: So 14.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mi 03.09.2008 um 11:13 von musicandi88
Weitere Autoren: informix, M.Rex
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