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Hornerschema

Schule


Das Horner-Schema vereinfacht die Berechnung von Funktionswerten



Beispiel anhand einer Polynomfunktion 3.Grades

Die allgemeine Darstellung einer Polynomfunktion 3.Grades lautet


$ f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $

Ist von dieser Funktion eine Nullstelle $ x_0 $ bekannt, so lässt sich der Linearfaktor $ (x-x_0) $ abspalten und die Funktion 3.Grades geht in eine Funktion 2.Grades ohne Restpolynom r(x) über


$ (a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0):(x-x_0)=b_2x^2+b_1x+b_0+\underbrace{r(x)}_{=\red{0}} $

Die Bestimmung der Koeffizienten des reduzierten Polynoms erfolgt nach folgender Systematik


$ b_2=a_3 $

$ b_1=a_2+a_3x_0 $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2 $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0} $

Das Verfahren ist nicht nur gültig für Polynome beliebiger Ordnung sondern auch für Stellen, welche keine Nullstellen sind.



Zahlenbeispiel


$ f(x)=3x^3+3x^2-3x-3 $

Man findet leicht eine Nullstelle bei $ x_0=-1 $

Dann ist


$ (3x^3+3x^2-3x-3):(x+1)=3x^2-3 $

weil


$ b_2=a_3=\blue{3} $

$ b_1=a_2+a_3x_0=3+3\cdot{}(-1)=\blue{0} $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2=-3+3\cdot{}(-1)+3\cdot{}(-1)^2=\blue{-3} $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0}=\bruch{-3-3\cdot{}(-1)+3\cdot{}(-1)^2+3\cdot{}(-1)^3}{x+1}=\bruch{\red{0}}{x+1} $



Nun das gleiche Beispiel noch einmal, wobei diesmal $ x_0=2 $ gewählt ist (keine Nullstelle der Funktion)


$ f(x)=3x^3+3x^2-3x-3 $

Dann ist


$ (3x^3+3x^2-3x-3):(x-2)=3x^2+9x+15+\bruch{27}{x-2} $

weil


$ b_2=a_3=\blue{3} $

$ b_1=a_2+a_3x_0=3+3\cdot{}(2)=\blue{9} $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2=-3+3\cdot{}(2)+3\cdot{}(2)^2=\blue{15} $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0}=\bruch{-3-3\cdot{}(2)+3\cdot{}(2)^2+3\cdot{}(2)^3}{x-2}=\bruch{27}{x-2} $



gute Erklärungen:

[link]http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/horner.htm
[link]http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/horner.htm

Erstellt: Mo 28.02.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 05.11.2009 um 09:41 von Herby
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