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Cramersche_Regel
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Cramersche Regel

Cramersche Regel

Sei $ A $ eine $ (n\times n) $-Matrix. Falls $ det(A)\neq0, $ existiert eine explizite Determinantenformel für die Lösung $ x $ eines gegebenen Gleichungssystems $ Ax=b $.

$ Ax=b $ lässt sich als Linearkombination der Spalten der Matrix mit Koeffizienten $ x_1,...,x_n $ schreiben:

$ x_1\vektor{a_{11}\\ \vdots\\a_{n1}}+...+x_n\vektor{a_{1n}\\ \vdots\\a_{nn}}=\vektor{b_1\\ \vdots\\ b_n} $

Mittels Subtraktion des Vektors $ b $ von dem i-ten Summanden folgt:

$ x_1\vektor{a_{11}\\ \vdots\\a_{n1}}+...+\vektor{x_ia_{1i}-b_1\\ \vdots\\x_ia_{ni}-b_n}+...+x_n\vektor{a_{1n}\\ \vdots\\a_{nn}}=\vektor{0\\ \vdots\\ 0} $

Die Spalten der zugehörigen Matrix

$ \pmat{a_{11}&...&x_ia_{1i}-b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&x_ia_{ni}-b_n&...&a_{nn}} $

sind also linear abhängig und die Determinante somit Null. Mit der Eigenschaft der Linearität der Determinante folgt:

$ x_i\cdot det\pmat{a_{11}&...&a_{1i}&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&a_{ni}&...&a_{nn}}-det\pmat{a_{11}&...&b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&b_n&...&a_{nn}}=0 $

Damit ist folgendes evident:


Satz

Ist $ det(A)\neq0 $ und $ Ax=b $, dann gilt für $ i=1,...,n $:

$ x_i= \frac{det\pmat{a_{11}&...&b_1&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&b_n&...&a_{nn}}}{det\pmat{a_{11}&...&a_{1i}&...&a_{1n}\\ \vdots&\mbox{ } &\vdots&\mbox{ } &\vdots\\a_{n1}&...&a_{ni}&...&a_{nn}}} $



Beispiel

Betrachte das lineare Gleichungssystem

                                                                 $ 5x_1-3x_2=-1 $
                                                                 $ 2x_1+1x_2=4 $

Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist

                                                                 $ \left(\begin{array}{cc|c} 5 & -3 & -1\\ 2 & 1 & 4 \end{array}\right) $.

Nach der Cramerschen Regel gilt:

                                                                 $ x_1=\frac{\vmat{ -1 & -3 \\ 4 & 1 }}{\vmat{ 5 & -3 \\ 2 & 1 }}=\frac{11}{11}=1 $

                                                                 $ x_2=\frac{\vmat{ 5 & -1 \\ 2 & 4 }}{\vmat{ 5 & -3 \\ 2 & 1 }}=\frac{22}{11}=2 $

Wie das Beispiel zeigt ist die Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel recht unpraktisch. Sie ist vielmehr im Hinblick auf den Zusammenhang der Veränderung von $ A $ und $ b $ und der Lösung $ x $ interessant. Sie stellt somit ein wichtiges Instrument zur Untersuchung der durch $ (A,b)\mapsto x $ definierten Abbildung $ \{A\in Mat(n\times n,\IK)|det(A)\neq0\}\times \IK^n\to\IK^n $ dar.



Literatur

isbn9783540592235 K. Jänich: Lineare Algebra.

Letzte Änderung: Mo 29.09.2014 um 13:41 von Ladon
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