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Basiswechsel
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Basiswechsel

Der Basiswechsel


Beschreibung

gegeben sei ein Vektor eines Vektorraumes V mit der Darstellung v bzgl. der Basis A, d.h $ A=\{a_1 , \ldots , a_n \} $ sei eine Basis, dann kann man $ v $ eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren, d.h : $ v=x_1\cdot{}a_1 + \ldots +x_n\cdot{}a_n $

somit erhält $ v $ die Darstellung bzgl $ A $ : $ v=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n} $

Wenn man nun eine weitere Basis $ B=\{b_1 , \ldots , b_n \} $ gegeben hat und den Vektor gleich (identisch) lassen, aber bzgl B (eindeutig) darstellen will, dann sind also die Skalare in $ v=\vektor{y_1\\\vdots\\y_n} $ gesucht, so dass $ v=y_1\cdot{}b_1 + \ldots +y_n\cdot{}b_n $ gilt.

Für allgemeine Basen kann man dies entweder über ein Gleichungssystem lösen - bzw. gleichbedeutend mit der Transformationsmatrix $ T_{B}^{A} $.

Für eine orthogonale Basis B kann man auch das (kanonische) Skalarprodukt benutzen.
(für eine orthonormale Basis B entfallen jeweils die Nenner der Brüche)

Dann gilt : $ v=\bruch{\langle x,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\cdot{}b_1+\bruch{\langle x,b_2\rangle}{\langle b_2,b_2\rangle}\cdot{}b_2+...+\bruch{\langle x,b_n\rangle}{\langle b_n,b_n\rangle}\cdot{}b_n $


Für eine Herleitung und als Beispiel zur Berechnung nach den "beiden" anderen Methoden siehe [link]HIER (Matheraum)


Erstellt: Di 28.03.2006 von DaMenge
Letzte Änderung: So 30.09.2007 um 10:06 von Marc
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