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AbstandsberechnungenR3
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AbstandsberechnungenR3

Wie berechnet man Abstände im $ R^3 $?


Schule

allgemeine Definition

Es seien zwei Punktemengen A und B gegeben (eine Punktemenge kann z.B. ein Punkt, Gerade, Ebene, Kreis, Kugel etc. sein).
Unter dem Abstand d(A,B) der Punktemengen A und B versteht man den kürzesten aller Abstände d(x,y) zweier Punkte mit $ x\in A $ und $ y\in B $, also


$ d(A,B):=\inf\{d(x,y)\ :\ x\in A\mbox{ und }y\in B\} $

Für den Fall, dass A und B abgeschlossen sind (das ist z.B. der Fall, wenn A und B Punkte, Geraden, Ebenen, Kreise, Kugeln sind) gilt:


$ d(A,B):=\min\{d(x,y)\ :\ x\in A\mbox{ und }y\in B\} $

Im Allgemeinen wird der kürzeste Abstand entlang eines von A auf B gefällten Lotes angenommen; alle im Folgenden aufgeführten Abstandberechnungen beruhen darauf, ein Lot von A auf B zu fällen und die zugehörigen Lotfußpunkte zu berechnen. Der Abstand der Lotfußpunkte ist dann der Abstand d(A,B) der beteiligten Punktemengen.


Konkrete Fälle:


Abstand Punkt-Punkt d(P,Q)

Der Abstand zweier Punkte $ P $ und $ Q $ mit den Koordinaten $ P=(p_1|p_2|p_3) $ bzw. $ Q=(q_1|q_2|q_3) $ ist einfach der Betrag bzw. die Norm der Differenz der Ortsvektoren $ \overrightarrow{0P}=\vektor{p_1\\p_2\\p_3} $ bzw. $ \overrightarrow{0Q}=\vektor{q_1\\q_2\\q_3} $:


$ \blue{d(P,Q)}=\left\|\vektor{p_1\\p_2\\p_3}-\vektor{q_1\\q_2\\q_3}\right\|=\left\|\vektor{p_1-q_1\\p_2-q_2\\p_3-q_3}\right\|=\blue{\wurzel{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}} $


Abstand Punkt-Gerade d(P,g)

Gegeben: $ P=(p_1,p_2,p_3) $ (zugehöriger Ortsvektor $ (\vec{p}=\overrightarrow{0P} $), $ g:\ \vec{x}=\vec{q}+r\cdot{}\vec{u} $

a) Konstruktiv (mit Hilfsebene)

  1. Stelle eine Hilfsebene E in Normalenform auf, die orthogonal zu g ist und die den Punkt P enthält: $ E:\ (\vec{x}-\vec{p})*\vec{u}=0 $.
    (Hier konnte einfach der Richtungsvektor $ \vec{u} $ von g als Normalenvektor verwendet werden.)
  2. Ermittle den Schnittpunkt F der Hilfsebene mit g, durch Einsetzen von g in E. Dies ist der Fußpunkt eines Lotes von P auf g.
  3. Nun gilt: $ d(P,g)=d(P,F) $ (siehe Abstand Punkt-Punkt)

b) Parameterbestimmung des Lotfußpunktes

Gesucht wird ein Punkt $ F_r=\vec{q}+r\cdot{}\vec{u} $ auf der Geraden g mit $ \overrightarrow{P F_r}\perp g $.
Dies leistet der Ansatz $ (\vec{F_r}-\vec{p})*\vec{u}=0 $, nach Auflösen dieser Gleichung nach r:
$ (\vec{F_r}-\vec{p})*\vec{u}=0 $
$ \gdw \vec{F_r}*\vec{u}-\vec{p}*\vec{u}=0 $
$ \gdw \left(\vec{q}+r\cdot{}\vec{u}\right)*\vec{u}=\vec{p}*\vec{u} $
$ \gdw \vec{q}*\vec{u}+r\cdot{}\vec{u}*\vec{u}=\vec{p}*\vec{u} $
$ \gdw r\cdot{}\vec{u}*\vec{u}=\vec{p}*\vec{u}-\vec{q}*\vec{u} $
$ \gdw r=\bruch{(\vec{p}-\vec{q})*\vec{u}}{\vec{u}*\vec{u}} $
Einsetzen dieses Parameters in $ F_r=\vec{q}+r\cdot{}\vec{u} $ liefert den (Lotfuß-) Punkt $ F_r $

Der gesuchte Abstand $ d(P,g)=d(P,F_r) $

c) Extremwertaufgabe
 
Definiere eine Funktion d, die für jeden Parameter r den Abstand des Punktes $ F_r $ auf der Geraden g von P liefert:

$ d(r)=\left\|F_r-P\right\|=\left\|\vec{q}+r\cdot{}\vec{u}-\vec{p}\right\|=\wurzel{(q_1-r\cdot{}u_1-p_1)^2+(q_2-r\cdot{}u_2-p_2)^2+(q_3-r\cdot{}u_3-p_3)^2} $

d) fertige Formel

Die konstruktive Methode (siehe Teil a) liefert für den $ R^3 $ die allgemeine Formel:

$ d(P,g) = \wurzel{(\vec{p}-\vec{q})^2-((\vec{p}-\vec{p})\cdot{}\vec{u}^0)^2} $,

wobei $ \vec{u}^0:=\bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|} $.



Abstand Punkt-Ebene

Man bestimmt diesen Abstand mit Hilfe der Hesse-Form der Ebenengleichung.

  • In gleicher Weise verfährt man beim Abstand zweier paralleler Ebenen und beim Abstand einer Geraden von einer Ebene, die parallel zur Ebene verläuft.
    Man wählt dann einfach einen bel. Punkt auf der Ebenen/Geraden und wendet das hier vorgestellte Verfahren an.

Beispiel

Für jede Zahl k ist eine Ebene $ E_k:2x+y-2z=k $ gegeben.
Welche der Ebenen $ E_k $ haben vom Punkt P(1|0|-2) den Abstand 12?

Der Abstand des Punktes P von der Ebene $ E_k $ soll d sein.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der reellen Zahl k und dem Abstand d?

Erst mal gehört k nach links:

Also: $ 2x + y - 2z - k = 0 $.

Der Normalenvektor ist demnach: $ \vec{n} = \vektor{2 \\ 1 \\ -2} $,
seine Länge (wie leicht nachzurechnen) ist 3.

Also musst Du Deine Gleichung durch 3 dividieren:

$ \bruch{1}{3}\cdot{}(2x + y - 2z - k) = 0 $

(Für positives k ist das bereits die HNF, für negatives k müsste man zwar mit (-1) multiplizieren, aber das ist überflüssig, weil es nur um den Abstand geht und man folglich sowieso mit Betrag arbeiten muss!)

Nun setze den Punkt ein (und vergiss die Betragsstriche nicht!):

$ |\bruch{1}{3}\cdot{}(2\cdot{}1 + 0 - 2\cdot{}(-2) - k)| = \red{12} $ (***)

(Achtung: Statt der 0 steht nun rechts der Abstand, also 12!)

Multipliziere alles mit 3 (damit der Bruch wegfällt)
und rechne die Klammer aus:

|6 - k| = 36

Nun musst Du nur noch diese Betragsgleichung lösen und Du hast die gesuchten Werte für k.

(Zur Kontrolle: $ k_{1}=-30; k_{2}=42 $.)

Und für den 2. Teil der Aufgabe setze einfach an der Stelle (***) statt 12 den Buchstaben d ein und löse wieder nach k auf. Auch hier ergeben sich 2 Lösungen, die jetzt natürlich von d abhängen.


Abstand Gerade-Gerade


  • parallele Geraden
    Man wählt einen Punkt auf der ersten Gerade und bestimmt seinen Abstand von der anderen Geraden (wie oben beschrieben).
  • windschiefe Geraden
    Man stellt eine Ebene E auf, die parallel zu einer der Geraden (h) verläuft und die andere Gerade (g) enthält.
    Dann hat jeder Punkt B auf h den gesuchten Abstand von der Ebene E. Der Normalenvektor $ \vec{n}_E $ von E ist zugleich der Vektor, der in Richtung des Abstandes zeigt, d.h. er steht auf beiden Geraden senkrecht

Um nun die Punkte auf beiden Geraden zu finden, die diesen kürzesten Abstand repräsentieren, verfährt man so:
Die Ebene E', die g enthält und in Richtung des Abstandes $ \vec{n}_E $ zeigt, schneidet die Gerade h im Punkt $ P_2 $,
den zugehörigen Punkt $ P_1 $  erhält man aus demselben LGS.
( $ P_1 $ erhält man auch als Schnittpunkt der Lotgeraden $ l: \vec{x}=\vec{p_2} + r*\vec{n}_E $ mit der Gerade g.)



Abstand Gerade-Ebene


  • parallele Gerade und Ebene
    siehe: Abstand Punkt-Ebene
  • Gerade nicht parallel zur Ebene
    Jede nicht-parallele Gerade schneidet irgendwo die Ebene, also Abstand =0.


Abstand Ebene-Ebene


  • parallele Ebenen
    siehe: Abstand Punkt-Ebene
  • Ebenen nicht parallel zueinander
    Nicht-parallele Ebenen schneiden sich irgendwo, also Abstand=0.


Abstand zu einer Kugel - Allgemeines

Gegeben sei eine Kugel $ K $ im $ R^3 $ mit Mittelpunkt $ M $ (der Ortsvektor sei $ \vec{m} $) und Radius $ r $, also $ K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2 = r^2 $.

Unter dem Abstand eines Objektes zu einer Kugel versteht man i.A. den Abstand zum Kugelmittelpunkt.



Abstand Punkt-Kugel

a) Abstand zum Mittelpunkt

siehe: Abstand Punkt-Punkt

Es gilt

$ d(M,P) \begin{cases} <r, & P\mbox{ liegt innerhalb von } K\\ =r, & P \mbox{ liegt auf } K\\ >r, & P \mbox{ liegt außerhalb von } K.\end{cases} $

b) Abstand zur Kugelschale

Liegt der Punkt P außerhalb der Kugel K, so ist der Abstand zur Kugelschale gleich $ d(M,P)-r $.



Abstand Gerade-Kugel

a) Abstand zum Mittelpunkt

siehe: Abstand Punkt-Gerade.

Es gilt:

$ d(M,g) \begin{cases} <r, & g\mbox{ ist Sekante an } K\\ =r, & g \mbox{ ist Tangente an } K\\ >r, & g \mbox{ ist Passante von } K.\end{cases} $

b) Abstand zur Kugelschale

Ist g eine Passante, also $ g\cap K=\emptyset $, so ist der Abstand zur Kugelschale gleich $ d(M,g)-r $.


Abstand Ebene-Kugel

a) Abstand zum Mittelpunkt

siehe: Abstand Punkt-Ebene

b) Abstand zur Kugelschale

siehe: Abstand Gerade-Kugel (Kugelschale)



Abstand Kugel-Kugel

a) Abstand der Mittelpunkte

siehe: Abstand Punkt-Punkt

b) Abstand der Kugelschalen

siehe: Abstand Gerade-Kugel (Kugelschale)

Erstellt: Fr 22.04.2005 von Marc
Letzte Änderung: Sa 05.09.2009 um 15:30 von zetamy
Weitere Autoren: hwj, informix
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