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Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation

Definition Äquivalenzrelation


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Es sei $ X $ eine Menge. Eine Teilmenge $ R $ von $ X \times X $ heißt eine Äquivalenzrelation auf $ X $, wenn gilt:

$ (A_1) $ $ (x,x) \in R $ für alle $ x \in X $,

$ (A_2) $ aus $ (x,y) \in R $ folgt $ (y,x) \in R $,

$ (A_3) $ aus $ (x,y) \in R $ und $ (y,z) \in R $ folgt $ (x,z) \in R $.

Die Eigenschaften $ (A_1) $, $ (A_2) $ und $ (A_3) $ von $ R $ heißen (in gleicher Reihenfolge) reflexiv, symmetrisch und transitiv.


Beispiele

a) Sei $ f: X \to Y $ eine Abbildung und

$ R(f) :=\{(x,y) \in X \times Y \, \vert \, f(x) = f(y)\} $.

Offensichtlich ist $ R(f) $ eine Äquivalenzrelation auf $ X $. Der Sonderfall $ Y=X $ und $ f=id_X $ zeigt, dass "$ = $" eine Äquivalenzrelation definiert, nämlich $ R(id_X)=\{(x,x)\, \vert \, x \in X\} $.

b) Für $ X= \IN \times \IN $ ist

$ R=\{((x,y),(u,v)) \in X \times X\, \vert\, x+v = u+y\} $

eine Äquivalenzrelation auf $ X $.

c) Es sei $ \IR_n $ der Vektorraum der Spaltenvektoren über $ \IR $ (der Dimension $ n $).

$ R:=\{(a,b) \in \IR_n \times \IR_n \, \vert \, \mbox{\scriptsize Es gibt eine orthogonale Matrix} \, A\, \mbox{\scriptsize mit} \ a= Ab\} $

ist eine Äquivalenzrelation auf $ \IR_n $.

d) Es sei $ {\cal F} $ eine Menge von Abbildungen.

$ R:=\{((X,Y,F),(X',Y',F')) \in {\cal F} \times {\cal F}\, \vert \, X=X',\, F=F'\} $

ist eine Äquivalenzrelation auf $ {\cal F} $.


Bemerkung:

Sei $ R $ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $ X $. Anstelle von $ (x,y) \in R $ schreibt man oft $ xRy $ oder $ x \sim y \pmod{R} $ oder auch nur $ x \sim y $ (lies: $ x $ äquivalent $ y $).

In dieser Schreibweise bedeuten die obigen Axiome:

$ (A_1') $ $ x \sim x $ für alle $ x \in X $ (reflexiv),

$ (A_2') $ aus $ x \sim y $ folgt $ y \sim x $ (symmetrisch),

$ (A_3') $ aus $ x \sim y $ und $ y \sim z $ folgt $ x \sim z $ (transitiv).


Zu $ x \in X $ heißt die Teilmenge

$ [x]_R:=\{y \in X\, \vert \, (x,y) \in R\} = \{y \in X\, \vert\, x \sim y\} $

die Äquivalenzklasse von $ x $ (bezüglich $ R $). Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit $ X/R $ bezeichnet:

$ X/R:=\{[x]_R\, \vert\, x \in X\} $.

Die Abbildung $ \pi :X \to X/R $, gegeben durch $ \pi(x) = [x]_R $, ist surjektiv und heißt die kanonische Surjektion.


Bemerkung:

Die Bedeutung der Äquivalenzrelation liegt darin, dass man Mengen mit einer Äquivalenzrelation in disjunkte Äquivalenzklassen zerlegen kann und ferner, dass Äquivalenz auf $ X $ $ (x \sim y) $ zur Gleichheit $ ([x]=[y]) $ in $ X/R $ führt.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Mi 20.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mi 10.08.2005 um 23:53 von Stefan
Weitere Autoren: Marc
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