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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich][mm] \\[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Hier habe ich noch eine Aufgabe, bei welcher ich Probleme habe.
Zunächst habe ich gegeben, dass N ein zyklischer Normalteiler einer Gruppe G ist, d.h. einerseits dass Ng = gN für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt (Bzw. [mm] g^{-1}ng\in [/mm] N [mm] \forall n\in\IN [/mm] und [mm] g\in [/mm] G) und dass N durch ein einziges Element erzeugt wird.
Ich könnte mir vorstellen, dass es mir weiterhilft wenn ich weiß dass N als zyklische Gruppe abelsch ist. (Das folgt aus 4.3.a  )
Ich finde nun bei 3.20 die Aussage: "Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler". D.h. ich wüsste nun schon, dass jede Untergruppe U von N Normalteiler von N ist, also gilt Un = nU für alle [mm] $n\in [/mm] N$. (Bzw. [mm] n^{-1}un\in [/mm] U [mm] \forall n\in\IN [/mm] und [mm] u\in [/mm] U)
Aber wie kann ich das jetzt zu einem Beweis verwursteln  ?
Vielen Dank für Eure Anregungen!
Grüße, Stefan.
PS.: Die zweite Aufgabe oben verlangt ja, dass ich mir das vorstellen kann . Ich wäre deswegen dankbar, wenn mir jemand ein kleiner Beispiel oder einen Link dazu (?) schicken könnte, wie solch ein Konstrukt aus Untergruppe - Normalteiler - Gruppe aussieht!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mi 07.01.2009 | | Autor: | statler |
> [Dateianhang nicht öffentlich][mm] \\[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
Guten Morgen!
> Hier habe ich noch eine Aufgabe, bei welcher ich Probleme
> habe.
> Zunächst habe ich gegeben, dass N ein zyklischer
> Normalteiler einer Gruppe G ist, d.h. einerseits dass Ng =
> gN für alle [mm]g\in G[/mm] gilt (Bzw. [mm]g^{-1}ng\in[/mm] N [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> und [mm]g\in[/mm] G) und dass N durch ein einziges Element erzeugt
> wird.
> Ich könnte mir vorstellen, dass es mir weiterhilft wenn
> ich weiß dass N als zyklische Gruppe abelsch ist. (Das
> folgt aus 4.3.a )
> Ich finde nun bei 3.20 die Aussage: "Jede Untergruppe
> einer abelschen Gruppe ist Normalteiler". D.h. ich wüsste
> nun schon, dass jede Untergruppe U von N Normalteiler von N
> ist, also gilt Un = nU für alle [mm]n\in N[/mm]. (Bzw. [mm]n^{-1}un\in[/mm] U
> [mm]\forall n\in\IN[/mm] und [mm]u\in[/mm] U)
>
> Aber wie kann ich das jetzt zu einem Beweis verwursteln
So noch gar nicht, denk ich mal. Aber man kennt die Untergruppen von zyklischen Gruppen haargenau. Wenn jetzt der Normalteiler als Ganzes auf sich abgebildet wird, wird eine U-Gruppe auf eine andere U-Gruppe abgebildet. Wie sieht das dann im zyklischen Fall aus?
> PS.: Die zweite Aufgabe oben verlangt ja, dass ich mir das
> vorstellen kann . Ich wäre deswegen dankbar, wenn mir
> jemand ein kleiner Beispiel oder einen Link dazu (?)
> schicken könnte, wie solch ein Konstrukt aus Untergruppe -
> Normalteiler - Gruppe aussieht!
Auf jeden Fall geht das mit S5 und A5, wenn man weiß, daß die A5 überhaupt keine Normalteiler hat. Vielleicht geht das auch schon mit einer nichtabelschen Grußppe der Ordnung 8?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Guten Morgen!
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> > Hier habe ich noch eine Aufgabe, bei welcher ich Probleme
> > habe.
> > Zunächst habe ich gegeben, dass N ein zyklischer
> > Normalteiler einer Gruppe G ist, d.h. einerseits dass Ng =
> > gN für alle [mm]g\in G[/mm] gilt (Bzw. [mm]g^{-1}ng\in[/mm] N [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> > und [mm]g\in[/mm] G) und dass N durch ein einziges Element erzeugt
> > wird.
> > Ich könnte mir vorstellen, dass es mir weiterhilft wenn
> > ich weiß dass N als zyklische Gruppe abelsch ist. (Das
> > folgt aus 4.3.a )
> > Ich finde nun bei 3.20 die Aussage: "Jede Untergruppe
> > einer abelschen Gruppe ist Normalteiler". D.h. ich wüsste
> > nun schon, dass jede Untergruppe U von N Normalteiler von N
> > ist, also gilt Un = nU für alle [mm]n\in N[/mm]. (Bzw. [mm]n^{-1}un\in[/mm] U
> > [mm]\forall n\in\IN[/mm] und [mm]u\in[/mm] U)
> >
> > Aber wie kann ich das jetzt zu einem Beweis verwursteln
>
> So noch gar nicht, denk ich mal. Aber man kennt die
> Untergruppen von zyklischen Gruppen haargenau.
Hallo und danke für deine Antwort!
Wenn G eine zyklischen Gruppe ist, d.h. von Ordnung n und von g erzeugt, sieht die ja so aus:
G = [mm] \{g^{0},g^{1},...,g^{n-1}\} [/mm]
Eine Untergruppe davon muss ja eine Ordnung m|n haben. Bei Wikipedia steht dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht ganz, was kn/d sein soll? Wirklich k*n/d? Das ist mir noch nie untergekommen, ich hätte was wie [mm] (n/d)^{k} [/mm] erwartet.
> Wenn jetzt
> der Normalteiler als Ganzes auf sich abgebildet wird, wird
> eine U-Gruppe auf eine andere U-Gruppe abgebildet. Wie
> sieht das dann im zyklischen Fall aus?
Ich weiß nicht, worauf du hinauswillst. Wieso möchte ich Normalteiler aufeinander abbilden? Kannst du mir das bitte erklären?
> > PS.: Die zweite Aufgabe oben verlangt ja, dass ich mir das
> > vorstellen kann . Ich wäre deswegen dankbar, wenn mir
> > jemand ein kleiner Beispiel oder einen Link dazu (?)
> > schicken könnte, wie solch ein Konstrukt aus Untergruppe -
> > Normalteiler - Gruppe aussieht!
>
> Auf jeden Fall geht das mit S5 und A5, wenn man weiß, daß
> die A5 überhaupt keine Normalteiler hat. Vielleicht geht
> das auch schon mit einer nichtabelschen Grußppe der Ordnung
> 8?
A5 hat gar keine Normalteiler? Außer die trivialen, oder?
Ist das jetzt schon ein Widerspruch? S5 ist ja nicht zyklisch. A5 ist Normalteiler von S5.
A5 müsste nun Untergruppen haben, die keine Normalteiler von S5 sind. Aber welche sind das? Ich kann mir unter A5 irgendwie nichts vorstellen - es ist die Gruppe der "geraden Permutationen", besteht aber nur aus -1 und 1...
Ich hoffe, ich habe Euch nicht mit Fragen überschüttet und würde mich auch über Teilantworten freuen!
Vielen Dank für Eure Mühe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Fr 09.01.2009 | | Autor: | statler |
> > > [Dateianhang nicht öffentlich][mm] \\[/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
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Guten Morgen!
> >
> > > Hier habe ich noch eine Aufgabe, bei welcher ich Probleme
> > > habe.
> > > Zunächst habe ich gegeben, dass N ein zyklischer
> > > Normalteiler einer Gruppe G ist, d.h. einerseits dass Ng =
> > > gN für alle [mm]g\in G[/mm] gilt (Bzw. [mm]g^{-1}ng\in[/mm] N [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> > > und [mm]g\in[/mm] G) und dass N durch ein einziges Element erzeugt
> > > wird.
> > > Ich könnte mir vorstellen, dass es mir weiterhilft
> wenn
> > > ich weiß dass N als zyklische Gruppe abelsch ist. (Das
> > > folgt aus 4.3.a )
> > > Ich finde nun bei 3.20 die Aussage: "Jede
> Untergruppe
> > > einer abelschen Gruppe ist Normalteiler". D.h. ich wüsste
> > > nun schon, dass jede Untergruppe U von N Normalteiler von N
> > > ist, also gilt Un = nU für alle [mm]n\in N[/mm]. (Bzw. [mm]n^{-1}un\in[/mm] U
> > > [mm]\forall n\in\IN[/mm] und [mm]u\in[/mm] U)
> > >
> > > Aber wie kann ich das jetzt zu einem Beweis verwursteln
> >
> > So noch gar nicht, denk ich mal. Aber man kennt die
> > Untergruppen von zyklischen Gruppen haargenau.
>
> Hallo und danke für deine Antwort!
>
> Wenn G eine zyklischen Gruppe ist, d.h. von Ordnung n und
> von g erzeugt, sieht die ja so aus:
>
> G = [mm]\{g^{0},g^{1},...,g^{n-1}\}[/mm]
In deinem Fall ist die zyklische Gruppe das N, also der Normalteiler. Das heißt dann entsprechend
N = [mm]\{g^{0},g^{1},...,g^{n-1}\}[/mm]
> Eine Untergruppe davon muss ja eine Ordnung m|n haben. Bei
> Wikipedia steht dazu:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht ganz, was kn/d sein
> soll? Wirklich k*n/d? Das ist mir noch nie untergekommen,
> ich hätte was wie [mm](n/d)^{k}[/mm] erwartet.
Hier in deinem Wikipedia-Text geht es um eine ganz bestimmte zyklische Gruppe, bei der die Verknüpfung in aller Regel additiv geschrieben wird. Das hat dann zur Folge, daß die mehrfache Verknüpfung multiplikativ geschrieben wird. Also ist kn/d wirklich k*n/d.
> > Wenn jetzt
> > der Normalteiler als Ganzes auf sich abgebildet wird, wird
> > eine U-Gruppe auf eine andere U-Gruppe abgebildet. Wie
> > sieht das dann im zyklischen Fall aus?
>
> Ich weiß nicht, worauf du hinauswillst. Wieso möchte ich
> Normalteiler aufeinander abbilden? Kannst du mir das bitte
> erklären?
Die Abbildung, von der ich rede, ist ein (beliebiger) innerer Automorphismus. Normalteiler werden bei inneren Automorphismen auf sich abgebildet, das definiert sie gerade.
Dann wird naturgemäß eine U-Gruppe dieses Normalteilers auf eine (evtl. andere) U-Gruppe des Normalteilers abgebildet, die allerdings die gleiche Ordnung hat, sogar isomorph ist. Nun gibt es aber bei zyklischen Gruppen zu jedem Teiler der Gruppenordnung nur eine U-Gruppe. Naja, dann muß sie bei dieser Aktion auf sich abgebildet werden. Und das heißt wiederum, daß die U-Gruppe auch ein Normalteiler in der großen Gruppe ist.
> > > PS.: Die zweite Aufgabe oben verlangt ja, dass ich mir das
> > > vorstellen kann . Ich wäre deswegen dankbar, wenn mir
> > > jemand ein kleiner Beispiel oder einen Link dazu (?)
> > > schicken könnte, wie solch ein Konstrukt aus Untergruppe -
> > > Normalteiler - Gruppe aussieht!
> >
> > Auf jeden Fall geht das mit S5 und A5, wenn man weiß, daß
> > die A5 überhaupt keine Normalteiler hat. Vielleicht geht
> > das auch schon mit einer nichtabelschen Gruppe der Ordnung
> > 8?
Es gibt 2 nichtabelsche Gruppen der Ordnung 8, die Quaternionengruppe und die Diedergruppe D4. D4 ist die Symmetriegruppe des Quadrats und daher sehr anschaulich. Eine nichtzyklische Untergruppe bilden die Spiegelungen an den Achsen durch die Seitenmitten und die Drehung um 180° (und die Identität natürlich).
> A5 hat gar keine Normalteiler? Außer die trivialen, oder?
Klar, die natürlich schon.
> Ist das jetzt schon ein Widerspruch? S5 ist ja nicht
> zyklisch. A5 ist Normalteiler von S5.
S5 muß auch nicht zyklisch sein, aber A5 ist nicht zyklisch!
> A5 müsste nun Untergruppen haben, die keine Normalteiler
> von S5 sind. Aber welche sind das? Ich kann mir unter A5
> irgendwie nichts vorstellen - es ist die Gruppe der
> "geraden Permutationen", besteht aber nur aus -1 und 1...
A5 kann man sich super vorstellen (oder auch nicht), es ist die Symmetriegruppe des Ikosaeders. Die An sind für n [mm] \ge [/mm] 5 einfach, das heißt, sie haben keine echten Normalteiler. Deswegen sind übrigens Gleichungen 5. Grades nicht durch Wurzelziehen lösbar. Untergruppen hat A5 schon, z. B. A4 in mehrfacher Ausführung, aber wenn eine U-Gruppe nicht mal Normalteiler in A5 ist, dann erst recht nicht in S5.
> Ich hoffe, ich habe Euch nicht mit Fragen überschüttet und
> würde mich auch über Teilantworten freuen!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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