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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Sa 25.04.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo,
Habe folgende Definition gelesen:
Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben, die jeweils für sich die Gruppe erzeugen. Die Erzeuger von [mm] \mathbb{Z} [/mm] sind +1 und -1, die Erzeuger von [mm] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [/mm] sind die Restklassen, die teilerfremd zu n sind.
Irgendwie versteh ich die Sache mit den zyklischen Gruppen noch nicht ganz.Warum ist +-1 Erzeuger von Z und warum sind die Restklassen von [mm] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [/mm] die Erzeuger?Kann mir jemand vielleicht dazu ein Bespiel geben!Würde mir echt helfen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 So 26.04.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo mini,
also erstmal allgemein:
Eine Gruppe G ist zyklisch, wenn es ein Element der Gruppe gibt, dass alle anderen erzeugt, konkrekt:
G heißt zyklisch, wenn ein [mm] a\inG [/mm] existiert mit
[mm] G=\{a^k, k\in \IZ\} [/mm] (wenn G muliplikative Gruppe)
bzw [mm] G=\{k*a, k\in \IZ\} [/mm] (wenn G additive Gruppe)
du siehst, du musst natürlich beachten, welche Verknüpfung zu der Gruppe gehört, z.B ist [mm] \IZ [/mm] eine additive Gruppe. Nun ist also die Frage:
Gibt zu jeder Zahl [mm] n\in \IZ [/mm] eine Zahl a, so dass n=k*a mit geeignetem [mm] k\in \IZ? [/mm] Ja, nämlich 1 oder -1, da n=n*1 bzw n= (-n)*(-1) (k wird also gleich n bzw -n gesetzt)Heißt also: Die Menge der Vielfachen von 1 bzw -1 ist = [mm] \IZ.
[/mm]
Dass [mm] \IZ/n\IZ [/mm] (additive Gruppe) ist zyklisch da die Restklasse [mm] 1+n\IZ=1 [/mm] Erzeuger ist, denn
[mm] \IZ/n\IZ=\{a+n\IZ, a\in\IZ\}=\{a*(1+n\IZ), a\in \IZ\}
[/mm]
Ferner sind alle Restklassen [mm] a+n\IZ [/mm] Erzeuger, für die gilt ggT(a,n)=1 (a,n teilerfremd)
Beweis:
ggT(a,n)=1
[mm] \gdw [/mm] für alle [mm] c\in\IZ \exists x,y\in \IZ [/mm] mit c=ax+ny
[mm] \gdw [/mm] für alle [mm] c\in\IZ \exists \in\IZ [/mm] mit [mm] c=x(a+n\IZ)
[/mm]
[mm] \gdw a+n\IZ [/mm] erzeugt [mm] \IZ/n\IZ.
[/mm]
Viele Grüße
Christian
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