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| Aufgabe | | Zeige: Die "n-ten Einheitswurzeln" exp ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik}{n} [/mm] ), k=0, ... n-1, n [mm] \in \IN, [/mm] bilden eine zyklische Untergruppe von [mm] \IC^{\times} [/mm] der Ordnung n; sie bilden die Eckpunkte eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. |
Wie zeige ich es? Kann vielleicht irgendjemand es zeichnen?
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> Zeige: Die "n-ten Einheitswurzeln" exp ( [mm]\bruch{ 2 \pi ik}{n}[/mm]
> ), k=0, ... n-1, n [mm]\in \IN,[/mm] bilden eine zyklische
> Untergruppe von [mm]\IC^{\times}[/mm] der Ordnung n; sie bilden die
> Eckpunkte eines dem Einheitskreis einbeschriebenen
> regelmäßigen n-Ecks.
> Wie zeige ich es? Kann vielleicht irgendjemand es
> zeichnen?
Hallo,
zum Zeichnen schreibst Du Dir exp ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik}{n}) [/mm] am besten in der Form a+ib auf, im Koordinatensystem ist das dann der Punkt (a,b).
Mach das doch mal für n=5, dann wirst Du das 5-Eck sehen.
Wie Du das Geforderte nun am besten zeigst, hängt auch davon ab, in welchem Zusammenhang Ihr das macht.
Du könntest z. B. mit Drehmatrizen arbeiten.
Für die "Untergruppe" brauchst Du einfach bloß zu rechnen. Zeig, daß mit
exp ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik_1}{n}) [/mm] und ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik_2}{n}) [/mm] auch das Produkt aus exp ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik_1}{n}) [/mm] und dem Inversen von ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik_2}{n}) [/mm] von der Form ( [mm] \bruch{ 2 \pi ik_3}{n}) [/mm] ist.
Zyklisch: Es gibt ein Element, mit welchem Du durch fortlaufendes mit sich selbst Multiplizieren sämtliche anderen Elemente erzeugen kannst.
Gruß v. Angela
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