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| Aufgabe | 1- Zeigen Sie, dass die K-Algebra [mm] K^{n\times n} [/mm] (Matrizen vom Format n [mm] \times [/mm] n) keine echten 2-seitigen Ideale hat. (Man nennt eine solche K-Algebra einfach).
2 - Benutzen Sie die Kästchenmultiplikation, um zu zeigen, dass die Abbildung
[mm] (K^{n\times n})^{m\times m} \to K^{nm\times nm}, [/mm] welche die Blockeinteilung der Matrizen vergißt, ein Isomorphismus von K-Algebren ist. |
Hallo,
bei der 1. Aufgabe habe ich einfach argumentiert, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ zu sein braucht. Reicht das aus?
bei der 2. Aufgabe weiß ich irgendwie nicht, wie ich ran gehen soll. Was ein Isomorphismus ist, ist mir schon klar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
deisler1985
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 03.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> 1- Zeigen Sie, dass die K-Algebra [mm]K^{n\times n}[/mm] (Matrizen
> vom Format n [mm]\times[/mm] n) keine echten 2-seitigen Ideale hat.
> (Man nennt eine solche K-Algebra einfach).
>
> 2 - Benutzen Sie die Kästchenmultiplikation, um zu zeigen,
> dass die Abbildung
> [mm](K^{n\times n})^{m\times m} \to K^{nm\times nm},[/mm] welche
> die Blockeinteilung der Matrizen vergißt, ein Isomorphismus
> von K-Algebren ist.
>
> Hallo,
>
> bei der 1. Aufgabe habe ich einfach argumentiert, dass die
> Matrizenmultiplikation nicht kommutativ zu sein braucht.
> Reicht das aus?
Wie genau hast du denn argumentiert? (Ich kann leider nicht hellsehen...)
Da es jedoch nicht-kommutative Ringe gibt, in denen es echte zweiseitige Ideale gibt, musst du schon mehr benutzen als dass [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] nicht kommutativ ist...
(Genau diese Frage wurd uebrigens heute schonmal gefragt, vor ca. 17 Stunden. In genau diesem Forum.)
> bei der 2. Aufgabe weiß ich irgendwie nicht, wie ich ran
> gehen soll. Was ein Isomorphismus ist, ist mir schon klar.
Eine Blockmatrix, sagen wir mal [mm] $\pmat{ A & B \\ C & D }$ [/mm] mit $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$, [/mm] $B = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h}$, [/mm] ... kannst du ja auch als $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix auffassen: [mm] $\pmat{ a & b & e & f \\ c & d & g & h \\ ... }$. [/mm] Und dieses `auffassen' ist ein Isomorphismus, und zwar genau der gesuchte (im Fall $n = m = 2$). Verallgemeinern solltest du es selber koennen...
LG Felix
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