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| Aufgabe | Berechne die Reihe
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{(2n)!/n!}{(2^{2n-1}-1)*\pi^{2n}}*\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{k}\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-j)^{2n}*(n-1)^{j+1}}) [/mm] |
Wir sollen diese Reihe berechnen und ich habe keine Ahnung wie ich da rangehen soll.
Könnte mir jemand sagen, wie ich da anfangen soll oder welchen Satz ich da benutzen kann?
gruß hawkingfan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechne die Reihe
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> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{(2n)!/n!}{(2^{2n-1}-1)*\pi^{2n}}*\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{k}\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-j)^{2n}*(n-1)^{j+1}})[/mm]
> Wir sollen diese Reihe berechnen und ich habe keine Ahnung
> wie ich da rangehen soll.
Erst mal anfangen, und zwar "von innen nach außen".
Es gilt
[mm] \summe_{j=0}^{k}\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-j)^{2n}*(n-1)^{j+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{k-1}}{(k-0)^{2n}*(n-1)^{1}}+\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-1)^{2n}*(n-1)^{2}}+\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-2)^{2n}*(n-1)^{3}}+...
[/mm]
und demzufolge
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\summe_{j=0}^{k}\bruch{(-1)^{k-1}}{(k-j)^{2n}*(n-1)^{j+1}}) [/mm] =
[mm] \bruch{(-1)^{1-1}}{(1-0)^{2n}*(n-1)^{1}}+
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{2-1}}{(2-0)^{2n}*(n-1)^{1}}+\bruch{(-1)^{2-1}}{(2-1)^{2n}*(n-1)^{2}}+
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{3-1}}{(3-0)^{2n}*(n-1)^{1}}+\bruch{(-1)^{3-1}}{(3-1)^{2n}*(n-1)^{2}}+\bruch{(-1)^{3-1}}{(3-2)^{2n}*(n-1)^{3}}+...
[/mm]
Aber halt mal,
stimmen die Formeln? Was ich geschrieben habe gilt nur, wenn die letzte Summe von j=0 bis k-1 läuft. Wenn sie bis k laufen würde, stünde im Nenner für (k-j) der Wert Null.
Bitte kontrolliere noch einmal.
Gruß Abakus
> Könnte mir jemand sagen, wie ich da anfangen soll oder
> welchen Satz ich da benutzen kann?
>
> gruß hawkingfan
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