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| Aufgabe | Seien I und J zwei Ideale in [mm] \IZ.
[/mm]
z.z.: [mm] IJ=(I+J)(I\cap [/mm] J) |
kann mir jemand bei der Frage helfen, komm da irgendwie nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 17.02.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Seien I und J zwei Ideale in [mm]\IZ.[/mm]
> z.z.: [mm]IJ=(I+J)(I\cap[/mm] J)
> kann mir jemand bei der Frage helfen, komm da irgendwie
> nicht weiter
Erstmal finde ich, daß die Frage ein bißchen wenig Drumherum zeigt, also Gruß und Abspann usw.
In Z sind alle Ideale Hauptideale, was bedeutet das hier für diese Aufgabe?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht, wie ich das hier nutzen kann :-(
mfg
piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mi 17.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur
> einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht,
> wie ich das hier nutzen kann :-(
Welches Element erzeugt I+J, welches den Schnitt? denk mal an ggT, kgV, Formeln dafür ...
SEcki
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> > also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur
> > einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht,
> > wie ich das hier nutzen kann :-(
>
> Welches Element erzeugt I+J, welches den Schnitt? denk mal
> an ggT, kgV, Formeln dafür ...
>
also der Schnitt von I und J wird erzeugt vom kgV. also da es ja um Ideale aus [mm] \IZ [/mm] geht und das alles Hauptideale sind, kann ich ja annehmen, dass I von a und J von b erzeugt wird, also wenn dann
k=kgV(a,b) dann ist [mm] I\cap J=k\IZ
[/mm]
für I+J gilt dann, dass man denn ggt(a,b) benötigt:
g=ggt(a,b)=ra+sb für geeignete r uns s aus [mm] \IZ
[/mm]
Also [mm] I+J=g\IZ
[/mm]
für I*J gilt dann: [mm] I*J=a*b\IZ
[/mm]
ist das bis hierher soweit richtig?
dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm] \IZ [/mm] mal weg)
a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)
dies gilt doch allgemein oder? und dann wär ich also fertig? bin mir da unsicher, ob das so immer gilt.
mfg
piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> ist das bis hierher soweit richtig?
Ja. (Solange irh das alles bewiesen habt, sonst musst du es noch beweisen!)
> dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm]\IZ[/mm] mal weg)
> a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)
>
> dies gilt doch allgemein oder?
Ja.
> und dann wär ich also
> fertig? bin mir da unsicher, ob das so immer gilt.
Damit wäre alles gezeigt.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 18.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo piccolo,
> dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm]\IZ[/mm] mal weg)
> a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)
>
> dies gilt doch allgemein oder?
Fast. kgV und ggT sind (nach der Definition, die ich kenne) nur bis auf Assoziiertheit (also Multiplikation mit Einheiten) eindeutig (d.h. in [mm] $\IZ$ [/mm] nur bis auf das Vorzeichen). Es gilt somit i.A. nur $a*b$ ist assoziiert zu [mm] $\operatorname{kgV}(a,b)*\operatorname{ggT}(a,b)$. [/mm] Das reicht aber, damit die beiden davon erzeugten Ideale übereinstimmen.
Viele Grüße
Tobias
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