zerfällungskörper eines polyn. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 17.01.2010 | | Autor: | isi87 |
| Aufgabe | Es sei [mm] k=\IZ/7\IZ$ und K der Zerfällungskörper des Polynoms f(x)= x^6 - \bar 5 \in k[x][/mm]. Man zeige:
1) Ist [mm] \alpha \in [/mm] K eine Nullstelle von f, so gilt f(x)= [mm] \prod_{\varphi \in k*} [/mm] ( x - [mm] \varphi\alpha) [/mm] in K[x].
2) f(x) ist irreduzibel über k.
3) Gal(K/k) [mm] \simeq [/mm] k* und die Erweiterung K/k enthält genau 4 Zwischenkörper. |
Hallo,
habe angefangen mich auf die Algebraklausur vorzubereiten und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Ich möchte gern eine Musterlösung für die Aufgabe haben, aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich bei so einer Aufgabe beginnen soll. Kann man bei zwei zum Beispiel einfach das Eisenstein-Kriterium anwenden?
Hoffe mir kann jemand helfen.
Lg, Isi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 18.01.2010 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei [mm]k=\IZ/7\IZ$ und K der Zerfällungskörper des Polynoms f(x)= x^6 - \bar 5 \in k[x][/mm].
> Man zeige:
> 1) Ist [mm]\alpha \in[/mm] K eine Nullstelle von f, so gilt f(x)=
> [mm]\prod_{\varphi \in k*}[/mm] ( x - [mm]\varphi\alpha)[/mm] in K[x].
> 2) f(x) ist irreduzibel über k.
> 3) Gal(K/k) [mm]\simeq[/mm] k* und die Erweiterung K/k enthält
> genau 4 Zwischenkörper.
> habe angefangen mich auf die Algebraklausur vorzubereiten
> und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Ich möchte gern eine
> Musterlösung für die Aufgabe haben, aber ich weiß
> überhaupt nicht, wie ich bei so einer Aufgabe beginnen
> soll.
Ich würde einfach mal vorne anfangen. Die Elemente in k* würde ich nicht [mm] \varphi [/mm] nennen, weil so meistens Abbildungen benamst werden. Aber verboten ist es auch nicht. Nimm besser [mm] \zeta [/mm] oder [mm] \xi. [/mm] Jetzt prüfst du bei dieser Zerlegung einfach die Nullstellen, die sind auf der rechten Seite leicht zu erkennen. Sind das auch links Nullstellen?
Wenn das klar ist, packst du 2) an.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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