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zentrische Streckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Di 22.05.2012
Autor: sissenge

Aufgabe
Beweisen sie den Satz: Unter der zentrischen Streckung [mm] Z_{Z,k} [/mm] wird eine Strecke [A,B] auf einer Geraden durch Z auf eine Strecke der LÄnge IkI d(A,B) abgebildet.

Ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich bei diesem Beweis anfangen kann... Ich habe ja keine wirklichen Annahmen oder so... ich hoffe es kann mri einer vielleicht weiter helfen

        
Bezug
zentrische Streckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:13 Mi 23.05.2012
Autor: Leopold_Gast

Wenn an [mm]Z[/mm] mit dem Faktor [mm]k[/mm] gestreckt wird und [mm]X'[/mm] der Bildpunkt von [mm]X[/mm] ist, dann gilt ja

[mm]\overrightarrow{ZX'} = k \cdot \overrightarrow{ZX}[/mm]

Wenn [mm]x,x',z[/mm] die Ortsvektoren der betreffenden Punkte sind, kann man das umformen:

[mm]\overrightarrow{ZX'} = k \cdot \overrightarrow{ZX} \ \ \Leftrightarrow \ \ x' - z = k \cdot (x - z) \ \ \Leftrightarrow \ \ x' = (1-k) \cdot z + k \cdot x[/mm]

Die letzte Gleichung zeigt dir, wie du das Bild [mm]X'[/mm] eines Punktes [mm]X[/mm] berechnen kannst. Jetzt wende diese Gleichung auf zwei Punkte [mm]A,B[/mm] bzw. ihre Ortsvektoren [mm]a,b[/mm] an und berechne [mm]d(A',B')[/mm].

Bezug
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