zeige GLS nicht nur triv Lsg < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
Man zeige, dass das lineare Gleichungssystem
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
5x1 + 7x2 + 9x3 = 0
4x1 + 5x2 + 6x3 = 0
nicht nur die triviale Losung hat.
</task>
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jmd einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe rangehen soll?
Unser Tutor gab uns den Tipp, dass wir merken werden dass das GLS unterbestimmt ist und wir Parameter einsetzen müssen, womit ich aber nicht viel anfangen konnte bisher..
Danke
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> Man zeige, dass das lineare Gleichungssystem
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> x1 + 2x2 + 3x3 = 0
> 5x1 + 7x2 + 9x3 = 0
> 4x1 + 5x2 + 6x3 = 0
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> nicht nur die triviale Losung hat.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Kann mir jmd einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll?
> Unser Tutor gab uns den Tipp, dass wir merken werden dass
> das GLS unterbestimmt ist und wir Parameter einsetzen
> müssen, womit ich aber nicht viel anfangen konnte bisher..
Hallo,
wie löst Du denn Gleichungssysteme? Mit Matrix und Gaußalgorithmus?
Zeig mal, wie weit Du kommst!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
also in der zugehörigen vorlesung haben wir die [mm] \vektor{-P \\ 1_{n-r}} [/mm] Matrix hergestellt und danach die Fundamentallösungen berechnet.
Ich hab mir die Sache jetzt etwas genauer angeschaut und mit dem Tipp, dass ich nur mit 2 Gleichungen arbeiten muss bin ich dann zu folgendem Ergebnis gekommen, stimmt das denn auch? und falls ja, reicht das zum "zeigen" der aufgabenstellung?
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm] ->
2.Zeile x (-2/5), dann 1. + 2. ergibt -> [mm] \pmat{ -3/5 & 0 & 3/5 \\ 4 & 5 & 6 } [/mm]
-> 1.Zeile x 20/3, dann 1. + 2. ergibt -> [mm] \pmat{ -3/5 & 0 & 3/5 \\ 0 & 5 & 10 }
[/mm]
danach 1.Zeile x (-5/3) und 2.Zeile x 1/5 ergibt -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 }
[/mm]
-> r=2
-> P= [mm] \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
-> [mm] \vektor{-P \\ 1_{n-r=1}}
[/mm]
-> [mm] l_{r+1=3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Lösung: ((*)) = { [mm] t_{3} [/mm] x [mm] l_{3} [/mm] | [mm] t_{3} \varepsilon \IR [/mm] }
= [mm] \{ \vektor{ t_{3} \\ -2t_{3} } | t_{3} \varepsilon \IR \}
[/mm]
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Hallo,
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm] ist korrekt, aber dann??
überlege, was das bedeutet
wir setzen z.B. als Parameter [mm] x_3=p
[/mm]
[mm] x_1-p=0 [/mm] ergibt [mm] x_1=p
[/mm]
[mm] x_2+2p=0 [/mm] ergibt [mm] x_2=-2p
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
mmh okay, aber wie gehts dann weiter? sorry steh auf dem schlauch..
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
HalloJaseb,
> mmh okay, aber wie gehts dann weiter? sorry steh auf dem
> schlauch..
Na, mit der obigen Antwort kannst du die (allg.) Lösung doch angeben.
Steffi hat die vorgerechnet:
$x_1=p, x_2=-2p, x_3=p$
Damit ist ein allg. Lösungsvektor des LGS von der Form $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{p\\-2p\\p}=p\cdot{}\vektor{1\\-2\\1}$ mit $p\in\IR$
Der Lösungsraum ist also der Spann $\langle\vektor{1\\-2\\1}\rangle}$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 23.09.2008 | | Autor: | Jaseb |
ok, dann ist die Lösung ja identisch zu meinem Vorschlag, ich hatte "nur" das 3. [mm] t_{3} [/mm] am Ende vergessen.. auch wenn meine Vorgehensweise wohl etwas komplizierter war 
Meine Frage war jetzt ob die Lösung [mm] \{ \vektor{ t_{3} \\ -2t_{3} \\ t_{3} } | t_{3} \in \IR } [/mm] "zeigt" (wie in der Aufgabenstellung verlangt), dass das System NICHT nur die triviale Lösung hat..
danke
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Hallo nochmal,
> ok, dann ist die Lösung ja identisch zu meinem Vorschlag,
> ich hatte "nur" das 3. [mm]t_{3}[/mm] am Ende vergessen.. auch wenn
> meine Vorgehensweise wohl etwas komplizierter war
>
> Meine Frage war jetzt ob die Lösung [mm]\{ \vektor{ t_{3} \\ -2t_{3} \\ t_{3} } | t_{3} \in \IR }[/mm]
> "zeigt" (wie in der Aufgabenstellung verlangt), dass das
> System NICHT nur die triviale Lösung hat..
Na, die Lösungsmenge besteht doch aus allen reellen Vielfachen von [mm] $\vektor{1\\-2\\1}$, [/mm] bildet also einen 1-dimens. Unterraum des [mm] \IR^3
[/mm]
Darin sind unendlich viele Vektoren.
Gib doch irgendeinen Vektor [mm] $\neq\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] daraus an, etwa den für [mm] $t_3=1$
[/mm]
Also [mm] $\vektor{1\\-2\\1}$, [/mm] du kannst ja durch Einsetzen nochmal auf Nr. Sicher gehen, dass dieser Vektor aus wirklich das Ausgangs-LGS löst
>
> danke
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 23.09.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, sicherlich ist dir aufgefallen,
die 1. Gleichung ist gleich 2. Gleichung minus 3. Gleichung,
du brauchst also nur mit zwei Gleichungen zu rechnen, Steffi
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