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zahlentheoretische Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:02 Mo 08.07.2019
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Mit [mm] \tau_2(n) [/mm] bezeichnen wir die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung

[mm] x_1x_2=n, (x_1,x_2)\in \IN^2. [/mm]

Zeige, dass [mm] \tau_2 [/mm] eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist.

Beweise weiter, dass für s>1 die Gleichung

[mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{\tau_2(n)}{n^s}=\zeta^2(s). [/mm]

Hallo zusammen,

wir müssen zeigen, dass [mm] \tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m) [/mm] mit [mm] m,n\in\IN [/mm] und ggT(n,m)=1

und eine diophantische Gleichung der Form ax+by=c für [mm] a,b\in\IZ [/mm] bitzt genau dann ganzzahlige Lösungen [mm] x,y\in\IZ, [/mm] wenn [mm] c=n\cdot [/mm] ggT(a,b) bzw. ggT(a,b)|c

Nun komme ich nicht weiter bzw. weiß ich nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke im Voraus!

        
Bezug
zahlentheoretische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Di 09.07.2019
Autor: meili

Hallo questionpeter,

> Sei [mm]n\in \IN.[/mm] Mit [mm]\tau_2(n)[/mm] bezeichnen wir die Anzahl der
> Lösungen der diophantischen Gleichung
>  
> [mm]x_1x_2=n, (x_1,x_2)\in \IN^2.[/mm]
>  
> Zeige, dass [mm]\tau_2[/mm] eine multiplikative zahlentheoretische
> Funktion ist.
>  
> Beweise weiter, dass für s>1 die Gleichung
>  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \bruch{\tau_2(n)}{n^s}=\zeta^2(s).[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  
> wir müssen zeigen, dass [mm]\tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m)[/mm] mit
> [mm]m,n\in\IN[/mm] und ggT(n,m)=1

[ok] und [mm] $\tau_2(1) [/mm] = 1$, dann ist [mm] $\tau_2$ [/mm] multiplikativ

Vielleicht kann man zuerst zeigen, dass [mm]\tau_2(nm)=\tau_2(n)\tau_2(m)[/mm] für Primzahlen [mm]m,n\in\IN, n \not= m[/mm] gilt.
Dann über Induktion auf Produkte mit mehr Faktoren.

>  
> und eine diophantische Gleichung der Form ax+by=c für
> [mm]a,b\in\IZ[/mm] bitzt genau dann ganzzahlige Lösungen [mm]x,y\in\IZ,[/mm]
> wenn [mm]c=n\cdot[/mm] ggT(a,b) bzw. ggT(a,b)|c

Da weis ich nicht, ob das was nützt.

>  
> Nun komme ich nicht weiter bzw. weiß ich nicht wie ich an
> diese Aufgabe herangehen soll. Kann mir da jemand
> weiterhelfen? Danke im Voraus!

Siehe []Teilerzahlfunktion.
Vielleicht kannst du zeigen, dass [mm] $\tau_2(n) [/mm] = d(n)$ für $ n [mm] \in \IN$ [/mm]

Gruß
meili


Bezug
        
Bezug
zahlentheoretische Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mi 10.07.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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