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zahlenfolgen: sup,inf
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Sa 07.06.2008
Autor: marie11

Aufgabe
bestimme,falls existent supremum und infimum, und Grenzwerte ?

von : [mm] a_{n}= \bruch{n-1}{n+1}exp ((-1)^n)? [/mm]

wie muss ich hier vorgehen?
kann ich vielleicht umschreiben?

ich habe diese frage auf keinem anderen forum gestellt!
        
Bezug
zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 07.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo marie11,

schreibe dir die Folge doch mal in geteilter Definition auf.

Es ist doch [mm] $a_n=\frac{n-1}{n+1}\cdot{}\exp\left((-1)^n\right)=\begin{cases} \frac{n-1}{n+1}\cdot{}\frac{1}{e}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \frac{n-1}{n+1}\cdot{}e, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}=\begin{cases} \left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdot{}\frac{1}{e}, & \mbox{für } n=2k+1 \\ \left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdot{}e, & \mbox{für } n=2k \end{cases}$ [/mm]

Denn es ist ja [mm] $\frac{n-1}{n+1}=\frac{n\blue{+1-1}-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$ [/mm]

Nun kannst du also die beiden Teilfolgen von [mm] $(a_n)$ [/mm] betrachten

[mm] $a_{n_{2k+1}}$ [/mm] und [mm] $a_{n_{2k}}$ [/mm]


Klappt's damit?

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
zahlenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Sa 07.06.2008
Autor: marie11

ich habe folgendes gemacht!
[mm] 1-\bruch{2}{2k+1} \to [/mm] 1

[mm] -(1-\bruch{2}{2k+1+1})\to [/mm] -1

stimmt das so?
Bezug
                        
Bezug
zahlenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Sa 07.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ich habe folgendes gemacht!
>  [mm]1-\bruch{2}{2k+1} \to[/mm] 1 [ok]

Bedenke, dass aber die Teilfolge [mm] $(a_{n_{2k}})_k$ [/mm] noch ein [mm] $\cdot{}e$ [/mm] hinten dran hat ;-)

Diese Teilfolge strebt also gegen [mm] $1\cdot{}e=e$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$ [/mm]

>  
> [mm]-(1-\bruch{2}{2k+1+1})\to[/mm] -1 [kopfkratz3]

Wie kommst du auf das "-" vor der Klammer? Und es fehlt das [mm] $\cdot\frac{1}{e}$ [/mm]

Die Teilfolge [mm] $(a_{n_{2k+1}})_k$ [/mm] strebt doch gegen [mm] $1\cdot{}\frac{1}{e}=\frac{1}{e}$ [/mm]

Was ergibt sich also für die Häufungswerte der Gesamtfolge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und somit für das Supremum?

Und was für's Infimum?

Hat die Gesamtfolge [mm] $(a_n)$ [/mm] einen Grenzwert?


>  
> stimmt das so?

LG

schachuzipus
Bezug
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