z aus der Wahrscheinlichkeit p < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, folgender Sachverhalt:
Ich schreibe ein Programm, bei dem ich anhand der gegebenen Wahrscheinlichkeit p meiner Variablen z einen Werst zuweise.
Ich weiß, dass ich den Wert auch aus einer Tabelle für Standardnormalverteilung ablesen kann, aber ich würde es vorziehen den Wert zu berechnen.
Beispiel: Für die Wahrscheinlichkeit p=0,9 bekomme ich z=1,2816, oder für p=0,99 ist z=2,326348.
Welche Formel/Rechenvorgang wäre für mich in dem Fall relevant? Die Stochastik Vorlesung ist leider ein paar Jahre her, deshalb bräuchte ich Starthilfe :)
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Hallo,
was genau soll denn z sein, vielleicht die Quantilsfunktion der Standardnormalverteilung?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Do 18.08.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin Arthur,
du moechtest Quantile der Standardnormal berechnen. Da muss ich dich enttaeuschen, es gibt hierfuer keine geschlossene Formel. Es gibt wohl aber (freie) Software, die das kann.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Do 18.08.2011 | | Autor: | arthur187 |
Alles klar, vielen Dank. Zumindestens weiß ich, dass es keine "schönere" Lösung gibt, außer in Tabellen zu schauen oder Excel zu fragen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 18.08.2011 | | Autor: | luis52 |
> Alles klar, vielen Dank. Zumindestens weiß ich, dass es
> keine "schönere" Lösung gibt,
Doch, R ist noch schoener. 
vg Luis
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> Hallo, folgender Sachverhalt:
> Ich schreibe ein Programm, bei dem ich anhand der
> gegebenen Wahrscheinlichkeit p meiner Variablen z einen
> Werst zuweise.
> Ich weiß, dass ich den Wert auch aus einer Tabelle für
> Standardnormalverteilung ablesen kann, aber ich würde es
> vorziehen den Wert zu berechnen.
>
> Beispiel: Für die Wahrscheinlichkeit p=0,9 bekomme ich
> z=1,2816, oder für p=0,99 ist z=2,326348.
>
> Welche Formel/Rechenvorgang wäre für mich in dem Fall
> relevant? Die Stochastik Vorlesung ist leider ein paar
> Jahre her, deshalb bräuchte ich Starthilfe :)
Hallo Arthur,
es gibt zwar keine einfache geschlossene und zugleich exakte
Formel, bei der man ohne (numerische) Integration auskäme,
aber es gibt durchaus Näherungsformeln.
Eine Arbeit dazu haben z.B. B. Zogheib und M. Hlynka geschrieben.
Man kann sie unter
"Approximations of the Standard Normal Distribution"
im Internet finden. Eine der dortigen Formeln (nicht die
genaueste, aber die einfachste) ist
$ [mm] \Phi(z)\ \approx\ 1-0.5\cdot{}e^{-1.2\cdot{}z^{1.3}} [/mm] $ [mm] (z\ge0)
[/mm]
Für gewisse Zwecke (wenn es nicht auf hohe Genauigkeit
ankommt) könnte sie durchaus brauchbar sein. Vor allem
hat sie die schöne Eigenschaft, dass sie leicht invertierbar
ist.
LG Al-Chw.
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> Hallo, folgender Sachverhalt:
> Ich schreibe ein Programm, bei dem ich anhand der
> gegebenen Wahrscheinlichkeit p meiner Variablen z einen
> Wert zuweise.
> Ich weiß, dass ich den Wert auch aus einer Tabelle für
> Standardnormalverteilung ablesen kann, aber ich würde es
> vorziehen den Wert zu berechnen.
>
> Beispiel: Für die Wahrscheinlichkeit p=0,9 bekomme ich
> z=1,2816, oder für p=0,99 ist z=2,326348.
Hallo Arthur,
ich gebe dir hier noch eine sehr gute Näherungsformel an,
die ich zu genau diesem Zweck vor einiger Zeit selber entwickelt
habe. Sie ist deutlich genauer als die Formel von Zogheib/Hlynka,
die ich oben angegeben habe. Ich musste sie jetzt nur zunächst
einmal wieder finden.
Ich habe sie in meinem Taschenrechner implementiert.
Sie ist insbesondere für p-Werte nahe bei 1 recht exakt.
Ich gebe hier nur die Berechnung für den Fall [mm] p\ge0.5 [/mm] an.
(für 0<p<0.5 kommen zusätzliche Überlegungen dazu, wie
man sie auch bei der Benützung von Tabellenwerken braucht)
Berechne aus p zuerst den Wert $\ u:=ln(1-p)$
Dann setze
$\ [mm] \red{z:=\ 0.216675*\sqrt{(u-77.924)*(u+0.21128)}+0.11938*u-1.2514}$
[/mm]
(verbesserte Version !)
In deinen obigen Beispielen liefert diese Formel die Werte:
p = 0.9 ---> z = 1.28(0)
p = 0.99 ---> z = 2.32(5)
LG Al-Chwarizmi
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