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Forum "komplexe Zahlen" - z am Rand des Konvergenzkreis
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z am Rand des Konvergenzkreis: Tipp zur Aufgabenlösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 So 27.12.2020
Autor: mmarschn

Aufgabe
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe [mm] \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (\frac{z}{4})^{3n}\). [/mm] Untersuchen Sie die Reihe für z=R und z=iR auf Konvergenz.

Hallo,

ich habe eine komplexe Potenzreihe [mm] \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (\frac{z}{4})^{3n}\) [/mm] gegeben und soll hierfür einmal den Konvergenzradius bestimmen und danach die Reihe für z=R und z=iR auf Konvergenz untersuchen.

Jetzt hab ich erstmal [mm] \(\frac{z}{4}^3\) [/mm] substituiert und dann durch Resubstitution |z| < 4 für den Konvergenzradius erhalten.

Beim Verhalten am Rand des Konvergenzkreises bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

Setze ich z=4 ein, erhalte ich [mm] \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot 1^{3n}\), [/mm] was divergieren sollte.
Für z=-4, bekomme ich [mm] \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (-1)^{3n}\) [/mm] was nach Leibnitz konvergieren würde.

Jetzt habe ich aber eine Kreisscheibe und nicht einfach nur zwei Randpunkte. Kann ich da die bekannten Kriterien wie Leibnitz überhaupt benutzen? Und wie kann ich für alle Punkte auf der Kreisscheibe eine Aussage treffen, ob diese konvergieren oder nicht?

Könnte auch für |z| = [mm] \(cos(\varphi)+isin(\varphi)\) [/mm] einsetzen, aber dann weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen sollte.

Habe im Internet viel mit Taylorreihen usw. gefunden, aber das haben wir leider noch nicht behandelt.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank schonmal!

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
- https://www.onlinemathe.de/forum/Verhalten-von-z-am-Rand-des-Konvergenzkreises
- https://www.matheplanet.com/default3.html?topic=251382=40


        
Bezug
z am Rand des Konvergenzkreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Mo 28.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Beim Verhalten am Rand des Konvergenzkreises bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

Steht doch in der Aufgabenstellung.
Lesen hilft da manchmal…

> Setze ich z=4 ein, erhalte ich [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot 1^{3n}\),[/mm] was divergieren sollte.

Sollte, könnte, würde?
Divergiert es nun oder konvergiert es? Klare Aussagen bitte…

>  Für z=-4, bekomme ich [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (-1)^{3n}\)[/mm] was nach Leibnitz konvergieren würde.

Wieso "würde"?
Entweder es konvergiert, oder es divergiert… und zusätzlich war nach z=-4 gar nicht gefragt.

  

> Jetzt habe ich aber eine Kreisscheibe und nicht einfach nur zwei Randpunkte.

Im eindimensionalen besteht die Kreisscheibe nur aus zwei Randpunkten.

> Kann ich da die bekannten Kriterien wie Leibnitz überhaupt benutzen?

Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind…

> Und wie kann ich für alle  Punkte auf der Kreisscheibe eine Aussage treffen, ob diese konvergieren oder nicht?

Indem du alle Punkte untersuchst, z.B. über eine Darstellung.
ABER: Das war nicht Teil der Aufgabe…
Ich zitiere: "Untersuchen Sie die Reihe für z=R und z=iR auf Konvergenz."

Heißt: Zu untersuchen sind z=4 und z=4i

Mehr nicht…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
z am Rand des Konvergenzkreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:18 Mo 28.12.2020
Autor: fred97


> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen
> Potenzreihe [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (\frac{z}{4})^{3n}\).[/mm]
> Untersuchen Sie die Reihe für z=R und z=iR auf
> Konvergenz.
>  Hallo,
>  
> ich habe eine komplexe Potenzreihe
> [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (\frac{z}{4})^{3n}\)[/mm]
> gegeben und soll hierfür einmal den Konvergenzradius
> bestimmen und danach die Reihe für z=R und z=iR auf
> Konvergenz untersuchen.
>
> Jetzt hab ich erstmal [mm]\(\frac{z}{4}^3\)[/mm] substituiert und
> dann durch Resubstitution |z| < 4 für den Konvergenzradius
> erhalten.
>
> Beim Verhalten am Rand des Konvergenzkreises bin ich mir
> jedoch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.
>  
> Setze ich z=4 ein, erhalte ich [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot 1^{3n}\),[/mm]
> was divergieren sollte.
>  Für z=-4, bekomme ich [mm]\(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt n}\cdot (-1)^{3n}\)[/mm]
> was nach Leibnitz konvergieren würde.



Gono hat fast alles gesagt,  aber nur fast.

       Leibniz bitte ohne  t.

Gruß Fredt,  äh Fred.


>  
> Jetzt habe ich aber eine Kreisscheibe und nicht einfach nur
> zwei Randpunkte. Kann ich da die bekannten Kriterien wie
> Leibnitz überhaupt benutzen? Und wie kann ich für alle
> Punkte auf der Kreisscheibe eine Aussage treffen, ob diese
> konvergieren oder nicht?
>
> Könnte auch für |z| = [mm]\(cos(\varphi)+isin(\varphi)\)[/mm]
> einsetzen, aber dann weiß ich auch nicht wie ich weiter
> vorgehen sollte.
>  
> Habe im Internet viel mit Taylorreihen usw. gefunden, aber
> das haben wir leider noch nicht behandelt.
>  
> Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank schonmal!
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  -
> https://www.onlinemathe.de/forum/Verhalten-von-z-am-Rand-des-Konvergenzkreises
>  -
> https://www.matheplanet.com/default3.html?topic=251382=40
>  


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