z=f(x,y) - extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extremwerte folgender Gleichung
z=f(x,y) = [mm] \bruch{3}{4}*x^{2} [/mm] -4x [mm] -2x*\wurzel{y+2}+4y+16 [/mm] |
Hallo,
wie schon in der Überschrift brauche ich dringend eure Hilfe! Also ich hab die Aufgabe nach mehrern Möglichkeiten versucht zu lösen, jedoch haperts bei mir schon in den zwischenschritten. am ende bekomme ich mit zig vielen lösungswegen, zig verschiedene lösungen. ich werd sie jetzt alle aufführen und es wäre extrem nett, wenn ihr mir sagen könntet, wo genau ich den fehler gemacht habe.
allgemein die Ableitungen:
z=f(x,y) = [mm] \bruch{3}{4}*x^{2} [/mm] -4x [mm] -2x*\wurzel{y+2}+4y+16
[/mm]
[mm] z_{x}= \bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}
[/mm]
[mm] z_{y}= -x*(y+2)^{\bruch{1}{2}}+4
[/mm]
[mm] z_{xx}= \bruch{6}{4}
[/mm]
[mm] z_{yy}= \bruch{1}{2}*x*(y+2)^{\bruch{-3}{2}}
[/mm]
[mm] z_{xy}= (y+2)^{-1}{2}
[/mm]
so jetzt geht der spaß los!
als erstes hab ich es so probiert:
1)
zx=0
0 = [mm] \bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{4+2\wurzel{y+2}}{1,5}
[/mm]
eingesetzt in zy=0
0= [mm] -\bruch{(4+2\wurzel{y+2})}{1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}+4
[/mm]
-4= [mm] -\bruch{(4+2\wurzel{y+2})}{1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
-6= [mm] -(4+2\wurzel{y+2}){1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] -6=\bruch{-4+2\wurzel{y+2}}{\wurzel{y+2}}
[/mm]
[mm] -6=\bruch{-4}{\wurzel{y+2}}+2
[/mm]
dann -2, dann mutliplizieren mit der wurzel und beide seiten quadrieren, am ende wieder -2 komme ich auf
y=2,25
x=5,415
------------------------------
nächster lösungsweg:
2)
[mm] z_{x}=0
[/mm]
[mm] 0=\bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}
[/mm]
[mm] 4-\bruch{6}{4}*x [/mm] = [mm] -2\wurzel{y+2}
[/mm]
-2 + 0,75x = [mm] \wurzel{y+2}
[/mm]
4+ 05625x² = y+2
2+0,5625x²=y
zy=0 und einsetzen:
0= [mm] -x*(2+0,5625X^{2}+2)^{\bruch{-1}{2}}+4
[/mm]
-4 = [mm] -x*(2+0,5625X²+2)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
-4 * [mm] \wurzel{(4+0,5625x²)}= [/mm] -x
-4*(2+0,75x) = -x
-8 + 3x = -x
-8 = -4x
x=2
y=4,25
--------------------
3)
[mm] z_{y} [/mm] = 0
0 = [mm] -x*(y+2)^{\bruch{-1}{2}} [/mm] + 4
-x = [mm] -4*\wurzel{y+2}
[/mm]
x = [mm] 4*\wurzel{y+2}
[/mm]
zx=0
0 = [mm] \bruch{6}{4}*4*\wurzel{y+2} [/mm] - 4 - [mm] 2\wurzel{y+2}
[/mm]
4 = [mm] 6\wurzel{y+2}-2\wurzel{y+2}
[/mm]
4 = [mm] 4\wurzel{y+2}
[/mm]
1 = [mm] \wurzel{y+2}
[/mm]
1= y+2
y=-1
x=4
--------------
nachdem ich halb am durchdrehen war, weil ich jedes mal nen anderes ergebnis rausbekam und sie von den zahlenwerten auch nicht total falsch aussahen, hab ich mal probiert, die stammfunktion anders abzuleiten mit der quotientenregel:
4)
im speziellen geht es jetzt darum [mm] z_{y} [/mm] nach [mm] z_{yy} [/mm] abzuleiten:
[mm] z_{y}= -x*(y+2)^{\bruch{1}{2}}+4 [/mm] = [mm] \bruch{-x}{\wurzel{y+2}}+4
[/mm]
u'v-uv' / [mm] v^{2}
[/mm]
[mm] z_{yy} [/mm] = [mm] \bruch{-1*\wurzel{y+2} - \bruch{-x}{2}*\wurzel{y+2}^{\bruch{-3}{2}}}{(y+2}
[/mm]
dann hab ich "versucht" alles bisschen schöner umzuformen:
[mm] \bruch{-1*\wurzel{y+2} +x}{(y+2)^{2}*\wurzel{y+2}*2}
[/mm]
am ende war ich so verzweifelt dass ich irgendwie versucht hab das ganze zu kürzen und dabei bin ich mir nicht sicher ob das geht wenn oben eine summe steht (oder geht das nur nicht wenn sie im nenner ist?)
-->
[mm] \bruch{x}{2*(y+2)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{(y^{2}+2y+4)*2}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{2y^{2}+4y+8}
[/mm]
was ja leider wieder was völlig anderes ist als ich vorher ganz am anfang abgeleitet habe..
-----
also ihr seht ich bin total frustriert. ich sehe meine fehler nicht und es erscheint mir alles so logisch. ich brauche also dringend eure hilfe und bedanke mich schonmal ganz,ganz herzlich 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ich wollte weiterhin nach übungsaufgaben fragen. ich hab in der leiste links schonmal geguckt. aber ich bin mir nicht sicher nach welchem thema ich suchen soll. wie genau nennt man das, was ich hier rechne?
oder kann ich selbst ein paar übungsaufgaben reinstellen und dazu meine eigene lösung kontrollieren lassen?
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Hallo nochmal,
> ich wollte weiterhin nach übungsaufgaben fragen. ich hab
> in der leiste links schonmal geguckt. aber ich bin mir
> nicht sicher nach welchem thema ich suchen soll. wie genau
> nennt man das, was ich hier rechne?
Schau mal durch das Forum, in dem auch Deine Aufgabe steht: Reelle Analysis mehrerer Veränderlicher. Da sollten genügend Aufgaben zu finden sein.
> oder kann ich selbst ein paar übungsaufgaben reinstellen
> und dazu meine eigene lösung kontrollieren lassen?
Das kannst Du auch, aber bitte erstens für jede Aufgabe einen neuen Thread anfangen und zweitens nur wenige Aufgaben auf einmal, sonst hilft es Dir sowieso nicht weiter. Am besten ist es, Du machst immer nur eine Aufgabe fertig und erst dann die nächste. Da es aber die Natur eines Forums von Freiwilligen ist, dass die Diskussionen manchmal etwas Zeit beanspruchen, kannst Du eben auch einige Aufgaben parallel einstellen.
Eine technische Beschränkung der Zahl gibt es aber nicht.
Grüße
reverend
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Hallo Cellschock, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Na, das scheint ein größeres Unterfangen zu werden.
Aber vorab: Du arbeitest nicht gründlich genug. Die meisten Fehler, die ich eben so gesehen habe, sind Flüchtigkeitsfehler und deuten nicht darauf hin, dass Du irgend etwas nicht verstanden hättest.
> Bestimmen Sie die Extremwerte folgender Gleichung
>
> z=f(x,y) = [mm]\bruch{3}{4}*x^{2}[/mm] -4x [mm]-2x*\wurzel{y+2}+4y+16[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> wie schon in der Überschrift brauche ich dringend eure
> Hilfe! Also ich hab die Aufgabe nach mehrern Möglichkeiten
> versucht zu lösen, jedoch haperts bei mir schon in den
> zwischenschritten. am ende bekomme ich mit zig vielen
> lösungswegen, zig verschiedene lösungen. ich werd sie
> jetzt alle aufführen und es wäre extrem nett, wenn ihr
> mir sagen könntet, wo genau ich den fehler gemacht habe.
>
> allgemein die Ableitungen:
> z=f(x,y) = [mm]\bruch{3}{4}*x^{2}[/mm] -4x [mm]-2x*\wurzel{y+2}+4y+16[/mm]
>
> [mm]z_{x}= \bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> [mm]z_{y}= -x*(y+2)^{\bruch{1}{2}}+4[/mm]
Hier fehlt ein Minuszeichen im Exponenten, aber das scheint nur ein Tippfehler zu sein, wofür die weiteren Ableitungen sprechen.
> [mm]z_{xx}= \bruch{6}{4}[/mm]
Irgendwann kommt die Zeit, wo man Brüche kürzen sollte.
> [mm]z_{yy}= \bruch{1}{2}*x*(y+2)^{\bruch{-3}{2}}[/mm]
>
> [mm]z_{xy}= (y+2)^{-1}{2}[/mm]
Da fehlt ein Minuszeichen vor dem ganzen Term, und irgendwie ist der Exponent schiefgegangen.
Richtig ist [mm] z_{xy}=-(y+2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ein guter Test ist übrigens immer, wenigstens im Kopf nochmal zu überschlagen, was denn [mm] z_{yx} [/mm] ist. Das muss ja das gleiche ergeben. Wenn es das nicht tut, hat man bis dahin schon einen Fehler.
> so jetzt geht der spaß los!
> als erstes hab ich es so probiert:
> 1)
> zx=0
Du meinst [mm] z_x=0. [/mm] Das ist etwas anderes!
> 0 = [mm]\bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{4+2\wurzel{y+2}}{1,5}[/mm]
>
> eingesetzt in zy=0
>
> 0= [mm]-\bruch{(4+2\wurzel{y+2})}{1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}+4[/mm]
>
> -4= [mm]-\bruch{(4+2\wurzel{y+2})}{1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> -6= [mm]-(4+2\wurzel{y+2}){1,5}*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
Was macht die 1,5 jetzt noch hier?
> [mm]-6=\bruch{-4+2\wurzel{y+2}}{\wurzel{y+2}}[/mm]
Nein. Im Zähler des Bruchs steht jetzt [mm] -4\blue{-}2\wurzel{y+2}
[/mm]
Und das ist auch schon der ganze Fehler, der sich ab hier durchzieht.
> [mm]-6=\bruch{-4}{\wurzel{y+2}}+2[/mm]
>
> dann -2, dann mutliplizieren mit der wurzel und beide
> seiten quadrieren, am ende wieder -2 komme ich auf
Hm. Erst rechnest Du jeden Pups einzeln vor, und dann...
> y=2,25
> x=5,415
Das ist dann natürlich auch falsch.
> ------------------------------
> nächster lösungsweg:
> 2)
> [mm]z_{x}=0[/mm]
> [mm]0=\bruch{6}{4}*x-4-2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> [mm]4-\bruch{6}{4}*x[/mm] = [mm]-2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> -2 + 0,75x = [mm]\wurzel{y+2}[/mm]
>
> 4+ 05625x² = y+2
Erstens: verwende hier nie die komischen Exponenten ² und ³. In Formeln funktionieren sie meistens nicht. Wie man Exponenten sonst schreibt, weißt Du ja schon.
Zweitens: wie quadriert man denn eine Summe? Schon mal was von binomischen Formeln gehört?
Drittens: Dezimalbrüche würde ich höchstens in einem Ergebnis verwenden. Man sieht ihnen ihre Entstehung oft nicht mehr an. Dass sich hinter der 0,5625 (mit ergänztem Komma) der Bruch [mm] \bruch{9}{16} [/mm] verbirgt, ahnen nur noch wenige.
> 2+0,5625x²=y
Ab hier geht es nur noch verkehrt weiter, weil Dir in obiger Gleichung links das "gemischte" Glied fehlt, nämlich -3x.
> zy=0 und einsetzen:
> 0= [mm]-x*(2+0,5625X^{2}+2)^{\bruch{-1}{2}}+4[/mm]
>
> -4 = [mm]-x*(2+0,5625X²+2)^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
>
> -4 * [mm]\wurzel{(4+0,5625x²)}=[/mm] -x
>
> -4*(2+0,75x) = -x
> -8 + 3x = -x
> -8 = -4x
> x=2
> y=4,25
>
>
> --------------------
> 3)
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
> 0 = [mm]-x*(y+2)^{\bruch{-1}{2}}[/mm] + 4
>
> -x = [mm]-4*\wurzel{y+2}[/mm]
>
> x = [mm]4*\wurzel{y+2}[/mm]
>
> zx=0
Wieder: [mm] z_x=0 [/mm] ist gesucht. Gewöhn Dir solche Ungenauigkeiten gar nicht erst an.
> 0 = [mm]\bruch{6}{4}*4*\wurzel{y+2}[/mm] - 4 - [mm]2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> 4 = [mm]6\wurzel{y+2}-2\wurzel{y+2}[/mm]
>
> 4 = [mm]4\wurzel{y+2}[/mm]
>
> 1 = [mm]\wurzel{y+2}[/mm]
> 1= y+2
> y=-1
> x=4
Hm. Diese Lösung ist jedenfalls richtig.
> --------------
> nachdem ich halb am durchdrehen war, weil ich jedes mal
> nen anderes ergebnis rausbekam und sie von den zahlenwerten
> auch nicht total falsch aussahen,
Hast Du jemals die Probe gemacht, also einfach mal Deine Lösungswerte eingesetzt? Dann hättest du gewusst, welche Deiner Lösungen richtig war und welche nicht.
> hab ich mal probiert, die
> stammfunktion anders abzuleiten mit der quotientenregel:
> 4)
> im speziellen geht es jetzt darum [mm]z_{y}[/mm] nach [mm]z_{yy}[/mm]
> abzuleiten:
>
>
> [mm]z_{y}= -x*(y+2)^{\bruch{1}{2}}+4[/mm] =
> [mm]\bruch{-x}{\wurzel{y+2}}+4[/mm]
>
> u'v-uv' / [mm]v^{2}[/mm]
>
> [mm]z_{yy}[/mm] = [mm]\bruch{-1*\wurzel{y+2} - \bruch{-x}{2}*\wurzel{y+2}^{\bruch{-3}{2}}}{(y+2}[/mm]
Wenn u(y)=-x sein soll, dann ist u'(y)=0 und nicht -1.
Deswegen ist das hier falsch, und die weitere Rechnung auch.
> dann hab ich "versucht" alles bisschen schöner
> umzuformen:
>
> [mm]\bruch{-1*\wurzel{y+2} +x}{(y+2)^{2}*\wurzel{y+2}*2}[/mm]
>
> am ende war ich so verzweifelt dass ich irgendwie versucht
> hab das ganze zu kürzen und dabei bin ich mir nicht sicher
> ob das geht wenn oben eine summe steht (oder geht das nur
> nicht wenn sie im nenner ist?)
> -->
Es geht gar nicht, wenn irgendwo eine Summe steht, es sei denn, Du kürzt jeden Summanden. Besser ist, vorher auszuklammern.
> [mm]\bruch{x}{2*(y+2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{(y^{2}+2y+4)*2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x}{2y^{2}+4y+8}[/mm]
>
> was ja leider wieder was völlig anderes ist als ich vorher
> ganz am anfang abgeleitet habe..
> -----
>
>
> also ihr seht ich bin total frustriert. ich sehe meine
> fehler nicht und es erscheint mir alles so logisch. ich
> brauche also dringend eure hilfe und bedanke mich schonmal
> ganz,ganz herzlich
Wie gesagt, die pure Schlampigkeit, sonst nichts.
Eigentlich scheinst Du es zu können, und bis auf ein paar elementare Grundlagen, die Du manchmal kannst und manchmal nicht...
Schau Dir (allen Ernstes!) lieber noch einmal Bruchrechnung, Potenzen (incl. binomischen Formeln) und das Distributivgesetz (in der Mittelstufe hieß das "Klammerrechnung") an.
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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danke dir erstmal  du hast mir echt viel weitergeholfen!
keine ahnung warum ich so grundlegende sachen wie binomische formeln usw immer wieder vergesse...eigtl könnte ich sie. ich muss wahrscheinlich etwas mehr üben.
ich werd mich gleich mal dranmachen und alles nachrechnen wo noch fehler waren, wenn ich nicht weiterkomme, schreib ich nochmal.
eine kleine frage hätte ich aber noch: wieso wird aus -x wenn man es ableitet eine 0? da hast du dich vertan oder? oder bin ich jetzt völlig doof :-D?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 23.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> danke dir erstmal du hast mir echt viel
> weitergeholfen!
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> keine ahnung warum ich so grundlegende sachen wie
> binomische formeln usw immer wieder vergesse...eigtl
> könnte ich sie. ich muss wahrscheinlich etwas mehr üben.
> ich werd mich gleich mal dranmachen und alles nachrechnen
> wo noch fehler waren, wenn ich nicht weiterkomme, schreib
> ich nochmal.
Mach das.
>
> eine kleine frage hätte ich aber noch: wieso wird aus -x
> wenn man es ableitet eine 0? da hast du dich vertan oder?
> oder bin ich jetzt völlig doof :-D?
Das kommt darauf an, nach welcher Variable angeleitet werden soll.
Für $g=-x$ gilt:
[mm] g_{x}=-1
[/mm]
und
[mm] g_{y}=0
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 So 23.09.2012 | | Autor: | Cellschock |
aaaah, ja...ich vollidiot. danke euch
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